数理解析I＋演習（２００９年１０月開講）

担当　平地健吾 ([my last name]@ms.u-tokyo.ac.jp) 　 TＡ 　加藤直樹 このページでは数理解析Iの講義情報をのせます。 参考書は Lars Ahlfors 著 Complex analysis またはその和訳；講義ではその前半をあつかいます． 場所：16-109教室 時間：金曜3限 13:00～14:30（演習は4限14:40～16:10） 左はAhlfors生誕１００年記念会議のポスター

・有理型関数はリーマン球面への正則写像とみなせることの説明
・リーマン球面全体で定義された有理型関数は有理関数になる

・偏角の原理とルーシェの定理

・留数計算その２
・講義のノートpdfファイル; もっと詳しい説明が上の参考書にあります

・留数計算その１

・正則関数の孤立特異点の分類
・正則関数の一致の定理
・ローラン展開の存在と計算方法

・正則関数の除去可能特異点
・正則関数のTaylor展開と剰余項の積分表示
・Taylor展開の計算方法

・曲線の長さと弧長による積分
・正則関数の無限回微分可能性
・Cauchyの評価式とリュービルの定理，代数学の基本定理

・Cauchyの積分定理の証明
・Cauchyの積分表示と線積分の計算方法

・指数関数の逆関数としての対数関数の定義とその正則性
・平面上の１形式の線積分とグリーンの公式（証明のアイディアのみ）
・複素線積分の定義とCauchyの積分定理（証明は来週）

・シアトルに行ってきます．

・ベキ級数の収束半径と収束域での項別微分可能性
・ベキ級数をもちいた指数関数、三角関数の定義とオイラーの公式
・微分方程式をもちいた指数関数の特徴付け（指数法則の証明）
・次週が休講なので演習の代わりに４限も講義をします．正則性の定義にC¹級の仮定が必要ないことを説明します；これは講義の本論には必要ありません．

・正則関数の定義とCauchy-Rimemannの方程式
・正則関数の和、積、商（定義できるとき）、合成も正則

・実２次元数ベクトル空間に積を与えて複素数体を定義する。
・ガウス平面と複素数の演算