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数学II, IV＋演習
（２００１年4月〜２００２年１月）Last updated Jan 29, 2002

担当　平地健吾 (研究室は数理科学研究科５２１)

このページでは理 II, III の１年生向けの線形代数の講義情報をのせます。

●４月１３日の講義

平面と空間のベクトルの復習（ベクトルの演算の基本性質）
平面と回転の行列表示と加法定理
行列が写像を定義することと一次変換が行列表示を持つことの説明 （２×２行列の場合のみ）
空間内の平面の方程式

●４月２０日の講義

n 次元数ベクトル空間の定義、和、スカラー倍の計算
一次結合の求め方、ベクトルで張られる空間の計算
部分空間の定義と例
一次独立、一次従属の定義

●４月２７日の講義

一次独立、一次従属性の調べ方、部分空間の次元の定義
連立一次方程式の消去法による解法
行列の階数の定義とその計算方法

●５月１１日の講義

行列の定義と演算
零行列、対角行列、三角行列、正則行列の定義
三角行列が正則であるための必要十分条件

●５月１８日の講義

転置行列、対称行列、交代行列、エルミット行列、ユニタリ行列、標準内積
基本変形の行列表示。任意の行列は基本変形で階段行列に変形できることの証明

●５月２９日の講義

行列の階数は基本変形により不変であることの証明
n 次正方行列が正則でる必要十分条件は階数が n であることを証明
基本変形をもちいた逆行列の計算方法
AB=I が成り立てば A, B は正則であることの証明

●６月１日の講義は演習を行います

●６月８日中間試験

●６月１５日の講義

２次、３次行列の行列式の定義
置換群の定義、任意の置換は互換の積として表すことができることの証明
置換の符号の定義と計算例（互換との関係は来週）

●６月２２日の講義の予定

置換の符号は互換の積で表現したときの互換の個数で決まることの証明
行列式の定義、基本変形による行列式の変換法則の説明、
行列式の計算例

行列式の性質の証明、行列式の展開

●７月６日は休講です

●７月１１日の講義

余因子行列とクラーメルの公式，行列の積の行列式， その他いくつかの例題

●７月１３日の講義の予定

演習を行う予定（講義が順調に進めば）

●１０月１9日の講義

一次独立、一次従属の概念
有限次元ベクトル空間の定義と基底の存在の証明

●１０月２６日の講義

・ 線形写像の定義、その例
・数ベクトル空間の間の線形写像は行列とベクトルの積として表される
・線形写像の和、スカラー倍、合成、逆は行列の和、スカラー倍、積、逆に対応する

●１０月１２日の講義

抽象ベクトル空間の定義と例
零ベクトル、逆ベクトルの一意性

●１１月２日は学会出張のため休講です

●１１月９日の講義

・線形写像の像空間と核空間
・線形写像の階数（＝像空間の次元）は対応する行列の階数に等しい
・階数と核空間の次元の間の関係式、写像の合成と階数の関係

●１１月１６日の講義

・ 線形写像の合成と階数の関係
・ 線形写像と連立一次方程式の関係：解の存在は像に入っているか、解の自由度は核空間の次元として表される
・固有値と固有ベクトル。固有値は特性方程式の解になっている

●１１月３０日の講義

・ 行列の対角化可能である必要十分条件は固有ベクトルで基底が作れること
・ 相異なる固有値の固有ベクトルは一次独立である
・ ２×２行列が相異なる二つの固有値を持てば対角化可能
・ ２×２行列の固有値が一つの場合，対角化可能なのは既に対角行列になっている場合に限る
・２×２行列のジョルダン標準形

●１２月７日の講義

・ ３×３行列の対角化：３つの相異なる固有値をもてば対角化可能
・ 固有空間の次元と固有値の重複度の関係
・ ベクトル空間の直和

●１２月１４日の講義

・固有値の重複度と固有空間の次元の関係
・３×３行列の対角化可能性の調べ方
・行列の三角化とハミルトン・ケイリーの定理

●１２月２１日の講義

・内積の定義と基本性質（ピタゴラスの定理，シュワルツの不等式，三角不等式）
・ベクトルのなす角度
・正規直交系（シュミットの直交化法）
・直交補空間

●１月１１日の講義

・直交補空間
・直交行列と内積の関係
・エルミート内積とユニタリ行列
・エルミート行列（対称行列）のユニタリ行列（直交）による対角化

●１月２５日の講義

・２次形式が（半）正定値性の判定方法
・２次曲線の分類（一点，直線，放物線，双曲線，楕円）
・２次曲面の分類

●１月２９日に繰り上げ期末試験を行います。

講義日程（全１３回）
４月１３、２０、２７
５月１１、１８
６月　１、　８、１５、２２、２９
７月　６、１１、１３
演習（全６回）
４月１７
５月　１、１５、２９
６月１２、２６
期末試験　９月４日（火）
講義日程
１０月１２、１９、２６
１１月２（休講）、９、１６、３０
１２月７、１４、２１
　１月１１、２５、２９（最終回は火曜日；繰り上げ期末試験の予定）
このページに関する質問、訂正は平地まで。