数学I (Aコース)+演習
（２００３年4月〜２００３年７月） Last modified: 2003/7/22

担当　平地 健吾 研究室は数理科学研究科521)
ＴＡ　竹内 知哉

このページでは数学I (Aコース; １年生理 II, III) の講義メモをのせます。 教科書は「微積分 I」金子 晃著、サイエンス社 2000 著者のサポートページ（正誤表があります） 場所：572教室（受講生が減ったのでもとに戻ります） 時間：水曜１限　９：００〜１０：３０（演習は火曜日３限１４：4０〜１6：1０）

・実数の連続性の公理の同値性の証明を完結
・板書したBorzanoは誤り，正しくは Bolzanoです．教科書にも誤植があります， 正誤表
・有界閉区間上の連続関数は一様連続であることの証明

・一様連続でないことの証明方法
・実数の連続性の公理の同値性
　(a) 有界単調列の収束
　(b) 有界集合の上限，下限の存在
　(c) Cauchy列の収束＋アルキメデスの性質
　(d) Bolzano-Weierstrassの定理
・(a)ならば(b)の証明で時間切れ

・常微分方程式の解法（変数分離形，同次形，一階線形）
・ε-δ論法の詳しい話
・∀と∃を含む命題の否定の作り方．

・中間試験を返し、点数分布、よくある間違いなどを説明した
・有理関数の積分（先週は計算ミスが多かったのでもう一度）
・三角関数の有理式の積分

・Riemann積分の定義
・閉区間上の連続関数はRiemann積分可能であることの証明（一様連続性）
・積分のテクニック；部分積分と置換積分
・有理関数の積分

・場所は１１０６教室，９：００〜１０：３０

・２０日の演習の時間に漸近解析を用いたTaylor展開の計算方法を説明した
・中間値の定理とロピタルの定理
・Taylor展開の存在の証明（Lagrangeの剰余項と積分形の剰余項）
・指数関数と対数関数のTaylor級数表示（剰余項の評価の例）

・無限小量の記号 O(hⁿ) と o(hⁿ)
・関数の多項式による近似；一次近似と微分の関係
・微分と関数の増減
・ Taylor 展開 (展開の存在については来週)
・無限小解析の公式；その応用として合成関数の微分法の公式を証明した

・指数関数と対数の厳密な定義
・三角関数の定義についての説明
・微分の定義と関数の一次近似

・中間値の定理と単調連続関数の逆関数の存在
・最大値の定理（証明の過程では上限の存在を用いたがこれは５章で証明する）

・Cauchy列（漸化式で定義される数列の収束）
・級数の収束については５章で詳しく扱うので今は省略する
・収束の速度については自習しておいて下さい
・連続関数の定義と例（多項式，有理関数，指数対数，三角関数，逆三角関数）
・無理数で連続，有理数で不連続な関数の例

・実数の公理（順序と連続性），eの存在
・アルキメデスの性質，実数の小数表示
・数列の極限と和，積の順序交換（ε-δ論法での証明）

●４月９日の講義内容

・なぜε-δ論法が必要になったのか（歴史的背景）
・実数の公理的な定義．体（四則演算）の公理で終わってしまった．