複素解析学�T講義内容（平成２２年度）

　

１章　複素数

§１ 複素数、実数と位相、複素数の定義、と平面位相。
§２ 平面位相、領域、曲線。
§３ 数列と極限、コーシー積、無限乗積。

２章　複素関数

§１ 複素関数。
§２ 関数列、アスコリ−アルゼラの定理、広義一様収束。
§３ 関数項級数。
§４ 巾級数、収束半径、解析関数、一致の定理。
§５ 指数関数と三角関数、定義と性質、対数関数の定義、πの定義、 単位円周の長さが``２π"の証明。
§６ 無限乗積、その絶対収束、一様収束。
§７ リーマン球面。
§８ 一次変換、円々対応、単位円板の自己同型、上半平面の自己同型。

３章　正則関数

§１ 複素微分、ディーバー作用、コーシー・リーマン方程式、巾級数は正則。
§２ 線積分、長さ有限な曲線、区分的連続可微分曲線、原始関数。
§３ 曲線のホモトピー、単連結領域。
§４ コーシーの積分定理。
§５ コーシーの積分表示、曲線の回転数、対数関数再論、 モレラの定理、劣平均値定理、最大値原理、リュービルの定理、 代数学の基本定理。
§６ 平均値定理と調和関数、平均値定理、随伴調和関数、最大値原理、ディリクレ問題、ポアソン積分。
§７ リーマン球面の領域上の正則関数、リーマン球面全体で正則な関数は定数。

４章　留数定理

§１ ローラン展開、極と孤立真性特異点。
§２ 有理型関数と留数定理。
§３ 偏角の原理、ルーシェの定理、領域保存の法則、逆関数の定理、 ピュイズー級数展開。
§４ 色々な留数計算。