複素解析学 II＋演習（２００８年４月開講）

担当　平地健吾 ([my last name]@ms.u-tokyo.ac.jp) 　 TＡ 　千葉 優作 　　　平澤 智彦 このページでは複素解析学 Iの講義情報をのせます。 教科書は Lars Ahlfors 著 Complex analysis またはその和訳 場所：117教室 時間：火曜2限 10:00～12:15（演習は3限13:00～14:30） 左はAhlfors生誕１００年記念会議のポスター

・ぺー関数の級数による定義、その収束性の証明
・ペー関数のみたす微分方程式
・ペー関数の微分の零点は半周期であり、半周期でのペー関数の値は相異なる
・モジュラー関数 λ の定義
・モジュラー群の生成元と基本領域
・モジュラー関数は C-{0,1}への全射等角写像であることの説明

・Δ-{0}上での解析接続の構造：ある閉曲線のリフトが閉曲線であれば 分岐点であることを証明した。
・Picardの小定理の証明のあらすじ。モジュラー関数λの性質の説明。 （λの構成は楕円関数の項でおこなう）。
・有理型関数の周期の定義，例：Jacobiの楕円関数

・曲線に沿った解析接続を定義し、その一意性を証明。
・ホモトピーを定義し、モノドロミー定理の証明を与えた。
・定数でない整関数の逆函数として大域的解析函数が定義されることを証明。 これで Log z, √z などが解析函数として定義されることがわかる。
・Δ-{0}の閉曲線のホモトピー類は整数と対応する。
・Δ-{0}上での解析接続の構造：ある閉曲線のリフトが閉曲線であれば 分岐点であることを証明した。

・正則関数の芽の層の連結成分として 大域的解析関数を定義した。この解析関数は上記の Weierstrass の意味での 解析関数と同じものであることを証明した。
・前層から層（ = 層空間 = 先週定義した位相空間としての層）を構成する方法を説明。
・曲線に沿った解析接続を定義し、その一意性を証明を途中まで。

・多重連結領域は円環からいくつかの同心円弧を除いた領域と双正則同値になることを証明した
・証明は基本的には Ahlfors の教科書に沿ったが、主値積分を用いた議論は位相幾何的な 議論で置き換えた
・Weierstrass による解析接続の理論。関数要素の直接解析接続の列として解析接続を定義しWeierstrass の意味での解析関数の定義を与えた。
・アーベル群の層の一般的な定義のあと、正則関数の芽の層を定義した。

・グリーン関数の定義とリーマン写像との関係
・Green関数の双正則写像による不変性とリーマン写像との関係
・多重連結領域は円環からいくつかの同心円弧を除いた領域と双正則同値になることの説明；証明は次回

・劣調和関数, Perronの方法によるのDirichlet問題の解法
・Barrierが存在する領域ではDirichlet問題の解が存在する

・調和関数の平均値の性質と最大値の原理
・Poissonの公式と円板でのDirichlet問題の解
・Harnackの不等式、Harnackの定理

・穴のない領域と単連結領域の同値性の証明
・双正則写像の境界挙動（ジョルダン領域の間の双正則写像は境界まで同相に拡張できることの証明）
・正則写像が境界まで連続に拡張され境界をJordan閉曲線にうつせば、双正則になる

・すべての正則関数が原始関数をもつような領域を解析的単連結領域と定義し、 解析的単連結性が（位相的）単連結性と同値であることをRiemann の写像定理を用いて示した。
・閉曲線が0とhomologusであることの定義を(回転数を用いて)与え、homologically trivialな領域を定義した。
・0とhomologusである閉曲線にたいするCauchyの積分定理の証明； この定理からとくにhomologically trivialな領域は解析的単連結であることがわかる

・正規族の定義：複素領域から距離空間への連続写像の族で一般的に考える
・複素領域から距離空間への連続写像のなす集合に距離を定義し、完備距離空間にする
・正規族であることと相対コンパクト性は同値
・Ascoli-Arzelaの定理
・Montelの定理の証明
・有理型関数とリーマン球面の復習

・等角写像は微分が消えない正則関数である。
・Riemannの写像定理の証明 (単射性の証明まで); Schwarzの補題、Montelの定理、Hurwitzの定理を用いた。Montelの定理の証明は来週