担当 平地健吾 TＡ 伊藤健一 松尾信一郎
・ シラバスの内容は終わったのでA. N. Varchenko and P. I. Etingof: Why the Boundary of a Round Drop Becomes a Curve of Order Four の１から３章を解説しました。鏡像の原理だけで流体の形を計算する 方法には関心します。 この本は AMS から無料でダウンロードできます。５章以降は見た目より難しい。
・調和関数の鏡像の原理 ・正則関数の鏡像の原理 ・C上の有理形関数の部分分数展開
・中間試験の解説 ・* 作用素と法線微分の関係 ・調和関数の平均値の定理，最大値の原理 ・Poisson積分による調和関数の表示
・試験範囲は１１月１１日の講義内容まで ・本，ノート類は持ち込み不可 ・試験時間は13:00〜15:00
・留数計算その２：主値積分、Logの分枝を用いた計算 ・調和関数の基本性質：共役調和関数の積分表示 ・Hodgeの*作用素とラプラシアンの関係
・Laurent展開の存在と留数の定義 ・留数定理：１点とhomotopicな閉曲線の場合と境界が連続微分可能な曲線である場合 ・偏角の原理とルーシェの定理 ・留数計算その１：三角関数の有理式の定積分、有理関数の定積分
・円板を円板に移す双正則写像は一次変換 ・曲線がhomotopicであることの定義、凸領域でのhomotopyの作り方 ・Cauchyの積分定理の一般化（１点にhomotopicな閉曲線にそった正則関数の積分は0） ・単連結領域では正則関数の原始関数が存在する
・リーマン球面上で定義された有理形関数は有理関数（とくにリーマン球面の正則自己同形は一次変換） ・正則関数の零点の個数の積分表示 ・定数でない正則写像は局所的にはm対1写像になる（よって、とくに開写像になる） ・最大値の原理 ・正則写像の逆写像定理 ・Schwarzの補題
・Taylor展開の剰余項の一様評価 ・零点の位数、一致の定理 ・連結性と弧状連結性の関係についての注意 ・孤立特異点の分類（除去可能特異点、極、真性特異点） ・真性特異点での挙動 ・有理形関数とリーマン球面に値をとる正則関数の同値性
・正則関数は無限回複素微分可能 ・モレラの定理、リュービルの定理、代数学の基本定理、ワイエルシュトラスの二重級数定理 ・Greenの公式からCauchyの積分表示を導く方法 (特異点を含む積分の計算) ・テイラー展開；剰余項の積分表示は来週
・線積分の定義 ・Greenの公式からCauchyの積分定理を導く方法(ただし連続微分可能性の仮定が必要) ・正則性だけからCauchyの積分定理を導く方法 (三角形の分割を用いる論法) ・凸領域でのCauchyの積分定理（凸領域の正則関数は原始関数を持つ) ・Cauchyの積分表示（積分路が円周の場合）、正則関数の微分の積分表示
・収束ベキ級数は正則であることの証明 ・一次変換とSL(2,C)の関係を射影空間を使って説明 ・一次変換の性質（３点の値によって決定される；非調和比を保つ；円を円に移す；対称の原理） ・正則写像の等角性
・序：複素変数の対数の定義について ・複素微分可能の定義とCauchy-Riemann方程式 ・正則関数の例：多項式関数と有理関数の零点と極の位数 ・有理関数はRiemann球面の間の連続写像を定義する；その位数をmとすると重複度をこめてm対1対応になる ・べき級数の収束半径；収束べき級数は正則関数であることの証明(途中まで)
