3 次元 Bessel bridge, Brownian meander および Bessel 過程に関する Wiener 積分について

舟木直久（東大数理）

Wiener 測度を 2 曲線の間のパス空間に制限して部分積分公式を論ずる際に， 3 次元 Bessel bridge r_{b}(t) (b ≥ 0 は t = 1 での値, i.e. 終点を表す) あるいは Brownian meander m(t) に関する確率積分 I(f; x) = ∫_{0}^{1} f(t) dx(t) (x = r_{b} または m) を定義しておく必要がある [1]．ただし被積分関数 f(t) は曲線を定める関数の微分で non-random である．このような Wiener 型の確率積分について，以下の結果が得られる．

(1) Brascamp-Lieb 不等式 (§2) あるいは Hardy の L^{2} 不等式 (§3) を用いて， x = r_{b}, m, R (§1 参照) の中心化過程に関する確率積分 I(f; x̂) = ∫_{0}^{1} f(t) dx̂(t) を，任意の f ∈ L^{2}([0, 1]) に対して定義することができる (舟木, Yor, 針谷)．ただし x̂(t) = x(t)−x̄(t), x̄(t) = E[x(t)] で， x̂ を x の中心化過程 (centered process) という． (種々の process への拡張が可能)

(2) 一方， Stieltjes 積分 I(f; x̄) = ∫_{0}^{1} f(t) dx̄(t) が存在するためには， f ∈ L^{2}([0, 1]) では不十分で， Jeulin が Bessel 過程 (の逆数) を含む自己相似過程に対して得た可積分条件と同じ条件が必要になる．

まず §1 で Bessel 過程に関する基本的な事項を簡単にまとめておく [5], [6]．

1 3 次元 Bessel bridge, Brownian meander, Bessel 過程

• Brownian motion (BM): B = {B(t); t ∈ [0, 1]}, B(0) = 0 (1 次元), 分布: P_{0} Brownian bridge (BB): β = {β(t) ≡ β_{b}(t); t ∈ [0, 1]}, β(0) = 0, β(1) = b, 分布: P_{0,b}

• Brownian meander: m = {m(t); t ∈ [0, 1]}, m(0) = 0, 分布: P_{0}^{+}

· B を ≥ 0 に条件付けたもの (Durrett-Iglehert-Miller)

· m(t) =^{(d)} \sqrt{B_{1}^{2}(t) + B_{2}^{2}(t) + β_{3}^{2}(t)}, \{B_{1}, B_{2}, β_{3}\} は独立, B_{1}, B_{2}: BM, β_{3}: BB

• BES(3)-bridge: r = {r(t) ≡ r_{b}(t); t ∈ [0, 1]}, r(0) = 0, r(1) = b ≥ 0, 分布: P_{0,b}^{+}

· β_{b} を ≥ 0 に条件付けたもの (= B を ≥ 0, B(1) = b と条件付けたもの)

科研費シンポジウム・信州特別セミナー「界面の統計力学と確率解析」， 2005 年 1 月 20 日（木）〜21 日（金），

信州大学理学部，アブストラクト

• BES(d)-process: R = {R^{d}(t); t ∈ [0, 1]}, R(0) = 0, 分布: Q_{0}^{+} ≡ Q_{0}^{+,d}

· R^{3}(t) =^{(d)} \sqrt{B_{1}^{2}(t) + B_{2}^{2}(t) + B_{3}^{2}(t)}

· Scaling 則: R^{d}(t) =^{(d)} \sqrt{t}R^{d}(1) · SDE (semimartingale 分解): dR(t) = dB(t) + \frac{d−1}{2} \frac{1}{R(t)} dt, R = R^{d}

• m(t), R^{3}(t) の終点に条件を付けると，ともに r_{b}(t) になる: · P_{0}^{+}(m ∈ · |m(1) = b) = Q_{0}^{+}(R^{3} ∈ · |R^{3}(1) = b) = P_{0,b}^{+}, b ≥ 0 · P_{0}^{+}(m(1) ∈ db) = be^{−b^{2}/2} db (Rayleigh 分布, i.e., m(1)^{2}/2 は指数分布に従う) · Q_{0}^{+}(R^{3}(1) ∈ db) = \sqrt{\frac{2}{π}} b^{2}e^{−b^{2}/2} db

• Imhof’s relation [6]:

· Q_{0}^{+} = Q_{0}^{+,3} と P_{0}^{+} は (C_{+} = C([0, 1], ℝ_{+}) 上の確率測度として) 互いに絶対連続で

dP_{0}^{+} = \sqrt{\frac{π}{2}} \frac{1}{x(1)} dQ_{0}^{+} さらに dP_{0}^{+}|_{F_{t}} = \frac{1}{x(t)}Φ(\frac{x(t)}{\sqrt{1 − t}}) dQ_{0}^{+}|_{F_{t}}

が成立する．ただし x(t, ω) = ω(t), ω ∈ C_{+} で， Φ(a) = ∫_{0}^{a} e^{−y^{2}/2} dy である． · Girsanov の公式を用いれば， Imhof’s relation から m(t) が満たす SDE

dm(t) = dB(t) + \frac{1}{\sqrt{1 − t}} \frac{Φ′}{Φ} (\frac{m(t)}{\sqrt{1 − t}})dt

が得られる．

• Jeulin’s lemma [3], [4]:

· X = {X(t); t ∈ [0, 1]} は ℝ_{+}-値 process で， E[X(t)] < ∞ かつ^{∃}φ ∈ C([0, 1], ℝ_{+}) s.t. \frac{1}{φ(t)}X(t) の分布が t によらぬとき， (0, 1] 上の測度 μ に対して

∫_{0}^{1} X(t)μ(dt) < ∞ (a.s.) ⟺ ∫_{0}^{1} φ(t)μ(dt) < ∞

· 例えば X(t) = \frac{1}{R(t)} (R = R^{d},^{∀} d) のとき Scaling 則から φ(t) = \frac{1}{\sqrt{t}} ととれるから

∫_{0}^{1} \frac{|f(t)|}{R(t)}dt < ∞ (a.s.) ⟺ ∫_{0}^{1} \frac{|f(t)|}{\sqrt{t}}dt < ∞
(特に f ∈ L^{p}([0, 1]),^{∃} p > 2 なら OK)

· 例: f(t) = t^{−1/2}(log \frac{2}{t})^{−α} は, \frac{1}{2} < α ≤ 1 のとき f ∈ L^{2}([0, 1]) だが ∫_{0}^{1} \frac{|f(t)|}{\sqrt{t}}dt = ∞.

2 Brascamp-Lieb 不等式による方法

2.1 r_{b}(t) あるいは m(t) の中心化過程に関する確率積分

x(t) = r_{b}(t) または m(t) とする．ただし b ≥ 0 である．対応する y(t) をそれぞれ y(t) = β_{b}(t) または B(t) で定めれば， x(t) の C_{+} 上の分布は， y(t) の分布に y(t) < 0 のときに強い convex self potential の効果を加えて得られる分布の極限とみなすことができるから， Brascamp-Lieb 不等式が適用可能である (正確には，折線近似, i.e., 有限次元近似を使う)．実際，

(1) まず f ∈ C^{1}([0, 1]) に対して確率積分 I(f; x̂) = ∫_{0}^{1} f(t) dx̂(t), (x = r_{b}, m), を

I(f; x̂) = f(1)x̂(1) − ⟨f′, x̂⟩_{L^{2}} (x = r_{b} のときはx̂(1) = 0)

で定義すれば，任意の下に有界な凸関数 ψ : ℝ → ℝ に対して

E[ψ(I(f; x̂))] ≤ E[ψ(I(f; ŷ))]

が成立する [2]． (あるいは単関数から始めてもよい． ) 特に ψ(a) = a^{2} ととれば

E[I(f; ŷ)^{2}] (= var (I(f; ŷ))) = \{ \begin{matrix}∥f∥_{L^{2}}^{2} − ⟨f, 1⟩_{L^{2}}^{2} ≤ ∥f∥_{L^{2}}^{2}, y = β_{b} のとき \\ ∥f∥_{L^{2}}^{2}, y = B のとき \end{matrix}

だから， x = r_{b}, m に対して

E[I(f; x̂)^{2}] ≤ ∥f∥_{L^{2}}^{2}

が得られる．また ψ(a) = e^{a} ととれば x = r_{b}, m のいずれの場合にも

E[e^{I(f;x̂)}] ≤ e^{∥f∥_{L^{2}}^{2}/2}

が成り立つ．

(2) 一般の f ∈ L^{2}([0, 1]) については， f を C^{1}([0, 1]) の元で近似すれば (1) の評価から L^{2}(P) における Cauchy 列が得られ， x = r_{b} または m の中心化過程 x̂ に関する確率積分 I(f; x̂) をその極限として定義することができる． (1) で得られた評価は極限でもそのまま成立する．

• BL 不等式は， d ≥ 3 の BES(d)-bridge r_{b}^{d}(t) (針谷)，さらに generalized d-dimensional meander m^{d}(t) とでもよぶべきものが定義できて，それらについても拡張可能と思われる．

2.2 期待値 r̄_{b}(t) あるいは m̄(t) に関する Stieltjes 積分

| ∫_{0}^{1} f(t) dx̄(t)| < ∞ であるには ∫_{0}^{1} |f(t)| |dx̄(t)| < ∞ であればよい．そのためには， r̄_{b}(t)(b ≠ 0) および m̄(t) については Jeulin の条件: ∫_{0}^{1} \frac{|f(t)|}{\sqrt{t}}dt < ∞ が成立していればよく， r̄_{0}(t) については ∫_{0}^{1} \frac{|f(t)|}{\sqrt{t(1−t)}}dt < ∞ ならば十分である．このことをみるために，以下の計算に注意する． • 期待値:

· r̄_{0}(t) = \sqrt{\frac{8}{π} t(1 − t)}

· r̄_{b}(t) = \frac{e^{b^{2}/2}}{bt^{3/2}} ∫_{0}^{∞} z^{2}e^{−z^{2}/2t}\{p(1 − t, z, b) − p(1 − t, z, −b)\} dz, p(t, x, y) は熱核

· m̄(t) = \sqrt{\frac{2}{π}} \{\sqrt{t(1 − t)} + \frac{π}{2} − arctan \sqrt{\frac{1−t}{t}}\} ( = ∫_{0}^{∞} r̄_{b}(t) be^{−b^{2}/2} db) ˙m̄(t) = \sqrt{\frac{2}{π}} \sqrt{\frac{1}{t} − 1}

· R̄(t) = R̄(1)\sqrt{t} = \sqrt{\frac{8}{π} t} (Scaling 則より)

˙R̄(t) = \sqrt{\frac{2}{πt}} · β̄_{b}(t) = E^{P_{0,b}}[β(t)] = bt (BB)

• 漸近挙動:

· r̄_{0}(t), r̄_{b}(t), m̄(t), R̄(t) ∼ \sqrt{\frac{8}{π} t}, ˙ r̄_{0}(t), ˙ r̄_{b}(t), ˙ m̄(t), ˙ R̄(t) ∼ \sqrt{\frac{2}{πt}} as t ↓ 0

· r̄_{0}(t) → 0, ˙ r̄_{0}(t) ∼ −\sqrt{\frac{2}{π(1−t)}} as t ↑ 1 · r̄_{b}(t) → b, ˙ r̄_{b}(t) → b − \frac{1}{b} as t ↑ 1 · m̄(t) → \sqrt{\frac{π}{2}} , ˙ m̄(t) → 0 as t ↑ 1 · R̄(t) → \sqrt{\frac{8}{π}} , ˙ R̄(t) → \sqrt{\frac{2}{π}} as t ↑ 1

図 1: r̄_{0}(t)  図 2: r̄_{b}(t)  図 3: m̄(t)  図 4: R̄(t)  図 5: x̄_{b}(t)

したがって，被積分関数 f が「f ∈ L^{2}([0, 1]) と Jeulin の条件」をともに満たすとき， x(t) = r_{b}(t), m(t) に関する確率積分が

I(f; x) = I(f; x̂) + I(f; x̄)

によって定義できる．

2.3 Bessel 過程 R(t) に関する確率積分

(1) BES(3)-process R = R^{3} については，その分布 Q_{0}^{+,3} が P_{0,b}^{+} の重ね合わせ：

Q_{0}^{+,3}( ·) = \sqrt{\frac{2}{π}} ∫_{0}^{∞} P_{0,b}^{+}( ·) b^{2}e^{−b^{2}/2} db

だから， §2.1, §2.2 の結果から f ∈ L^{2}([0, 1]) s.t. ∫_{0}^{1} \frac{|f(t)|}{\sqrt{t}}dt < ∞ に対して確率積分 ∫_{0}^{1} f(t) dR(t) が定義できる． (2) あるいは， R = R^{d} の満たす SDE を用いれば

∫_{0}^{1} f(t) dR(t) = ∫_{0}^{1} f(t) dB(t) + \frac{d − 1}{2} ∫_{0}^{1} \frac{f(t)}{R(t)}dt

と定義すればよい．第 1 項は f ∈ L^{2}([0, 1]) に対して定義でき，第 2 項は Jeulin’s lemma から ∫_{0}^{1} \frac{|f(t)|}{\sqrt{t}}dt < ∞ なら意味をもつ．

(3) Imhof’s relation に注意すれば，逆に R(t) に関する確率積分から Brownian meander m(t) に関する確率積分が定義できる．また， BES(3)-bridge r_{0}(t) に関する確率積分も，区間 [0, 1] を [0, 1/2] と [1/2, 1] に分け {r_{0}(t); t ∈ [0, 1/2]} の分布と {R(t); t ∈ [0, 1/2]} の分布が互いに絶対連続であることに注意すれば定義可能である． [1/2, 1] 上の確率積分は時間反転により定義できる．

3 Hardy の L^{2} 不等式による方法

• Hardy の L^{2} 不等式: 変換

Hf(x) = \frac{1}{x} ∫_{0}^{x} f(y) dy, x ∈ [0, 1]

に対して

∥Hf∥_{L^{2}} ≤ 2∥f∥_{L^{2}}, ^{∀}f ∈ L^{2}([0, 1])

が成立する ([6], p. 10 に簡単な確率論的証明がある)．

• BES(3)-process R = R^{3}(t) の Scaling 則， Imhof’s relation， m̄(t) の具体形などを用いて

E[I(f; R)^{2}] = ∥f∥_{L^{2}}^{2} + \frac{4}{π} ∫_{0}^{1} f(u) \frac{du}{u} ∫_{0}^{u} f(s)\sqrt{\frac{u}{s} − 1} ds

がわかる (Yor, ここでは，とりあえず f は有界とする)． ˙ R̄(t) = \sqrt{2/πt} により

E[I(f; R̂)^{2}] = E[I(f; R)^{2}] − I(f; R̄)^{2} = ∥f∥_{L^{2}}^{2} + \frac{4}{π} J(f)

ただし

J(f) = ∫_{0}^{1} f(u) \frac{du}{u} ∫_{0}^{u} f(s) (\sqrt{\frac{u}{s} − 1} − \sqrt{\frac{u}{s}}) ds

である．|\sqrt{\frac{u}{s} − 1} − \sqrt{\frac{u}{s}} | ≤ 1 (cancellation: 中心化過程を考えたことにより，発散項 \sqrt{\frac{1}{s}}, s ↓ 0 は前の定数部分まで一致し， singularity は消える) と評価してから， Hardy の L^{2} 不等式を用いれば

|J(f)| ≤ ⟨|f|, H|f|⟩_{L^{2}} ≤ 2∥f∥_{L^{2}}^{2}

が得られ，したがって

E[I(f; R̂)^{2}] ≤ C∥f∥_{L^{2}}^{2}, C = 1 + \frac{8}{π}

がわかる．この評価から， BES(3)-process R(t) の中心化過程 R̂(t) に関する確率積分 I(f; R̂) が任意の f ∈ L^{2}([0, 1]) に対して定義できる． • E[I(f; R̂)^{2}] に対する評価は， BL 不等式から得られるE[|I(f; m̂)|^{p}], p > 2 または E[I(f; r̂_{b})^{2}]

に対する評価からも導くことができる．実際，定数 C は C = 2\sqrt{3/π} と小さくとれる． d > 3 のときにも， m^{d}(t) に対する BL 不等式を使えば BES(d)-process に対する評価が得られる．

• Yor 氏は，この不等式はさらに x = (R^{d})^{α}, d > 1, α ∈ [1, 2) (針谷： d + 2α > 4) に対し拡張できることを示している:

E[I(f; { \atop (R^{d})^{α}})^{2}] ≤^{∃} C_{α,d}∥f_{α}∥_{L^{2}}^{2}, ただし f_{α}(t) := t^{(α−1)/2}f(t)

• また， Yor 氏は BES(3)-process の中心化過程 R̂ に対する L^{2}-評価から

S_{t} = max_{s≤t} B_{s}, L_{t} = local time of B, |B_{t}| (反射壁 BM), A_{t} = ∫_{0}^{t} \frac{R_{s}}{s} ds

r_{0}(t), |β_{0}(t)| (反射壁 BB), ℓ_{t} = local time of |β_{0}|, m_{t}

の中心化過程に関する確率積分について， L^{2}-評価が得られることを示している．

S_{t} = \frac{1}{2}(R_{t} + B_{t}) (Pitman), L =^{(d)} S, |B_{t}| = R_{t} − L_{t},

r_{t} = (1 − t)R_{\frac{1}{1−t}} , m_{t} = |β_{t}| + ℓ_{t} (Pitman)

などの関係式を用いればよい．

• non-random な f への拡張に向けた一般論の構築の試みも始まっている (Yor)．

References

[1] T. Funaki and K. Ishitani, Integration by parts formulae for Wiener measures on a path space between two curves, preprint, 2005, available at http://www.ms.utokyo.ac.jp/˜ funaki/publ/publ.htm

[2] G. Giacomin, On stochastic domination in the Brascamp-Lieb framework, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 134 (2003), pp. 507–514.

[3] T. Jeulin, Semi-Martingales et Grossissement d’une Filtration, Lect. Notes Math., 833, Springer, Berlin, 1980.

[4] J.W. Pitman and M. Yor, Some divergent integrals of Brownian motion, In: “Analytic and Geometric Stochastics” (ed. D.G. Kendall), Adv. in Appl. Probab., 1986, suppl., pp. 109–116.

[5] D. Revuz and M. Yor, Continuous Martingales and Brownian Motion, 3rd ed., Springer, Berlin, 1999.

[6] M. Yor, Some Aspects of Brownian Motion. Part I: Some Special Functionals, Birkhäuser, Basel, 1992.