１９９８年度幾何学演習補足プリント（１） ’98/10/29

問題１． X を集合とし、 E_{n}, n = 1, 2, ⋯, ∞ を X の部分集合とする。この時次を示せ。

1) x ∈ lim sup E_{n} ⇔ 任意の数 M について、ある n > M が存在して x ∈ E_{n} ⇔ 無限個の自然数 n についてx ∈ E_{n} ⇔ ∀M, ∃n > M s.t. x ∈ E_{n} ⇔ 自然数からなる単調増加列 n_{k} が存在してx ∈ E_{n_{k}}

2) x ∈ lim inf E_{n} ⇔ 十分大きな全ての n についてx ∈ E_{n} ⇔ 有限個の整数を除いた残りの全ての自然数 n について x ∈ E_{n}

問題２．上の言い換えを用いて lim inf E_{n} ⊂ lim sup E_{n} であることを示し、実際に等号が成り立たない E_{n} の例について、等号が成り立たないことの（簡明な）説明を与えよ。

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