１９９８年度幾何学Ａ演習レポート問題提出期限７月１０日

問題１．次の３種の曲面の中から２つを選び、その概形を描くと共に第１基本量、単位法線ベクトル、第２基本量、主曲率およびガウス曲率、平均曲率をそれぞれ求めよ。各種公式などは用いても良いが、用いる際には公式を用いたことを明示すること。また、曲面片ではない曲面については適宜曲面片に分割するなどして求めること。

1) 一葉双曲面 {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} − z^{2} = 1}

2) 二葉双曲面 {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} − z^{2} = −1}
3) 円錐 {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} − z^{2} = 0, z > 0}

問題２． S^{2} を単位球面とする：

S^{2} = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1}

このとき大円 (適当に球面を回すと赤道になる円) の測地的曲率ベクトルは 0 であることを示せ (このような曲線を測地線と呼んだ)。

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