１９９７年度幾何学Ａ演習（第 14 回） ’97/7/16 15:00〜17:15

定義１． Σ_{1}, Σ_{2} をそれぞれ ℝ^{3} 内の曲面（片）または ℝ^{2} の開集合とする。更に Σ_{1}, Σ_{2} にはそれぞれリーマン計量（第１基本型式） g_{1}, g_{2} が入っているとする。ここで、滑らかな写像 f : Σ_{1} → Σ_{2} が等長写像であるとは、

1) f は微分同相写像（f は同相写像で、かつ f も f^{−1} も滑らかな写像）

2) f^{∗}g_{2} = g_{1} の２つの条件が成り立つことを言う。

定義２． ℝ^{2} に x_{1}-x_{2} 座標をいれ、計量 g = g_{11}dx_{1}^{2} + 2g_{12}dx_{1}dx_{2} + g_{22}dx_{2}^{2} を考える。ここで、 g_{11}, g_{12}, g_{22} は ℝ^{2} 上の滑らかな関数。いま関数 g_{21} を g_{21} = g_{12} として定め、行列 ( \begin{matrix}g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{matrix} ) を考えると、これは次の意味で g と対応がつく。いま、 g を ℝ^{2} の各点 p で、 p を始点とするベクトル

X_{1} = b_{1} \frac{∂}{∂x_{1}} + b_{2} \frac{∂}{∂x_{2}} , X_{2} = c_{1} \frac{∂}{∂x_{1}} + c_{2} \frac{∂}{∂x_{2}}

（以前やったように、\frac{∂}{∂x_{1}} は成分で言えば (1, 0)、\frac{∂}{∂x_{2}} は (0, 1) である）に対して、

g_{p}(X_{1}, X_{2}) = g_{11}b_{1}c_{1} + g_{12}(b_{1}c_{2} + c_{1}b_{2}) + g_{22}b_{2}c_{2}

という値を与える写像だとみなす。これは、 g_{12} = g_{21} に注意すると、

( b_{1} b_{2} ) ( \begin{matrix}g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}c_{1} \\ c_{2} \end{matrix} )

と等しい。ここでは g の係数 g_{ij} から決まるこのような行列 ( \begin{matrix}g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{matrix} ) を単に g に対応する行列または g から決まる行列と呼ぶことにする。この呼び方は必ずしも一般的ではないので注意すること。このようにすると、 g_{1}, g_{2} を計量、 G_{1}, G_{2} をそれぞれ g_{1}, g_{2} に対応する行列とするとき、計量として g_{1} = g_{2} ということと、 G_{1} = G_{2} という事は同値である。

定義３． M(n; ℝ) を成分が ℝ の元である n 次正方行列の全体、 I_{n} を n 次単位行列とする。このとき

O(n) = {X ∈ M(n; ℝ)|^{t}XX = I_{n}},
SO(n) = {X ∈ M(n; ℝ)|^{t}XX = I_{n}, det X = 1}

とそれぞれ定める。

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問題１．次の問に答えよ。

1) g = a_{11}dx_{1}^{2} +2a_{12}dx_{1}dx_{2} +a_{22}dx_{2}^{2} を ℝ^{2} の計量とする。また、 A を M(2; ℝ) の元とする。 f_{A} を A で定まる ℝ^{2} の１次変換とする時、 f_{A}^{∗}g を求め、 f_{A}^{∗}g と対応する行列を書き下せ。

2) g を Euclid 計量 dx_{1}^{2} + dx_{2}^{2} ととり、 A を M(2; ℝ) の元とする。ここで、 f_{A}^{∗}g = g となるための A の条件を求めよ。

3) A ∈ O(3) に対して、 f_{A}^{∗}g = g を示せ。ただし g は ℝ^{3} の Euclid 計量とする。

問題２． S^{2} を ℝ^{3} の単位球面とみなして、 ℝ^{3} の Euclid 計量から誘導される計量を入れる。つまり、 ι : S^{2} → ℝ^{3} を包含写像、 g を ℝ^{3} の Euclid 計量とする時、 S^{2} の計量として、 ι^{∗}g を考える。ここで A ∈ M(3, ℝ) から定まる１次変換 f_{A} が S^{2} の等長写像になるのはいつか。さらに、 f_{A} が S^{2} の向きを保つ等長写像になるのはいつか。

問題３． ℝ^{2} に Euclid 計量を入れる。 l = l(t), t ∈ ℝ を ℝ^{2} 内の滑らかな曲線とし、 A ∈ O(2) とする。いま曲線 l の一部分 s = l([0, 1]) を考え、その長さを |s| で表す事にする。このとき、曲線 f_{A}(l) の一部分 f_{A}(s) の長さ |f_{A}(s)| を |s| と比較せよ。また、 ℝ^{2} の計量が一般のリーマン計量の時はどうなるか調べよ。

問題４． ℂ \ {0} = ℝ^{2} \ {0} に計量 g を

g = \frac{1}{|z|^{2}} dzd\overline{z} = \frac{1}{x^{2} + y^{2}} (dx^{2} + dy^{2})

として入れる。ここで、 f : ℂ → ℂ \ {0} を f(z) = e^{z} で定める。このとき以下の問に答えよ。

1) ℂ の計量 f^{∗}g を求めよ。

2) 原点を中心とする半径 r の円周の ℂ \ {0} における（計量 g に関する）長さを求めよ。