２００２年度解析学Ｉ演習（第 12 回） ’02/6/27 13:10〜14:40

問１． O(h), o(h) で無限小を表す。また、 m, n は自然数とする。

1) R(h) = O(h^{m}) であれば n < m のとき R(h) = o(h^{n}) であることを示せ。また、 R(h) = o(h^{m}) であれば R(h) = O(h^{m}) であることを示せ。

2) R(h) = o(h^{m}) かつ R(h) ≠ O(h^{m+1}) であるような R(h) の例を挙げよ。

3) 無限大において R(x) ∼ x^{m} であるとし、 S(h) = \frac{1}{R(|h|^{−1})} と定める。この

とき S(h) = O(h^{m}) かつ S(h) ≠ O(h^{m+1}) であることを示せ。

問２． f を R 上の C^{1}-級関数とし、 a, b ∈ R, a < b とする。

1) f(b) − f(a) = ∫_{0}^{1} (f′(a + t(b − a))(b − a)) dt を示せ。

2) 適当な c ∈ [a, b] が存在し、 ∫_{0}^{1} f′(a + t(b − a))dt = f′(c) であることを示せ。必要であれば平均値の定理を用いてよい。

3) f(0) = 0 とすると適当な連続関数 g が存在し、 f(x) = xg(x) であることを示せ。

4) 3) で与えられる g は微分可能かどうか調べよ。

5) a, b により定まる適当な数 L が存在し、 x, y ∈ [a, b] であれば |f(x) − f(y)| ≤ L |x − y| であることを示せ。必要であれば連続関数は閉区間上で最大値および最小値をとることを用いてよい。

注．問２の 2) を平均値の定理を使わずに解くといかにも平均値の定理の「別証明」が得られたような気分になるが、積分をまだ定義していないのでそれは厳密性を欠く。積分とその適切な性質を、平均値の定理とは関係ない形であらかじめ定義し、導出しておかなければいけない。

問３． f を R 上の C^{1}-級関数とする。

1) このとき f により定まるある定数 L で、任意の x, y に対して |f(x) − f(y)| ≤ L |x − y| が成り立つものが存在するかどうか調べよ（成り立つ場合には証明をつけ、そうでない場合には反例を挙げよ）。

2) さらに f′ が R 上で有界である（ある定数 M > 0 が存在し、 M > |f′(x)| がすべての x ∈ R について成り立つ）とき、適当な定数 L で、任意の x, y に対して |f(x) − f(y)| ≤ L |x − y| が成り立つものが存在することを示せ。

問４．連続関数は閉区間上で最大値および最小値をとることを示せ。