２００２年度解析学Ｉ演習（第 10 回） ’02/6/13 13:10〜14:40

問１．二変数関数 f を f(x, y) = y − x^{2} により定める。

1) 適当な実数 c をいくつか選び、 f(x, y) = c のグラフを同じ x-y 平面に描け。特に、 f(x, y) = 0 のグラフは y = x^{2} のグラフである。これは原点 (0, 0) を通る。逆に言えば、 y = x^{2} のグラフは原点を通り、その上では f(x, y) が一定（実際には 0）であるという性質を持つ。以下では、 y = x^{2} のグラフを原点の近くにおいて直線で近似するひとつの方法を考える。

2) (a, b) を R^{2} の大きさ 1 のベクトルとする。すなわち、 a^{2} + b^{2} = 1 とする。 ℓ_{(a,b)} = {(x, y) ∈ R^{2} (x, y) = (at, bt), t ∈ R} とすると、 ℓ_{(a,b)} は R^{2} 内の原点を通る直線であるが、 ℓ_{(a,b)} 上の点 p = (at, bt) での f の値 f(at, bt) は t に関して連続微分可能な（C^{1}-級の）関数になることを示せ。この関数を g = g(t) とする。

g(t) は直線 ℓ_{(a,b)} 上の適当な点における f の値であった。従って、 g′(0) は原点から直線上を点が動いていくとしたときに、どの程度 f の値が変化するか示していると考えることができる。

3) g′(0) = 0 となる (a, b) の値を求め、そのときの ℓ_{(a,b)} を図示せよ。 g′(0) = 0 ということは、この方向に点が移動していくときには f の値の変化が一番少ないことを示している。言い方を変えれば、この場合の ℓ_{(a,b)} のグラフは「f の値が一定である」という状態に一番近い直線と考えることが出来る。

4) g′(0) を a と b であらわし、 g′(0) の最大値、最小値とそのときの (a, b) の値を

求め、そのときの ℓ_{(a,b)} を図示せよ。また、 g′(0) が最大であるということは、その方向には f の値が一番大きく増えることを示している。逆に g′(0) が最小ということは、その方向には f の値が一番大きく減ることを示している。

5) 3) の条件をみたす (a, b) の値を (a_{0}, b_{0})、 4) の条件を満たす (a, b) の値を

(a_{1}, b_{1}) とすると a_{0}a_{1} + b_{0}b_{1} = 0 であることを確かめよ。

問２． f を R 上の微分可能な関数とし、 g を g(x) = f(ax) で定める。

1) y = f(x) のグラフとその (x_{0}, f(x_{0})) における接線および、 y = g(x) のグラフとその (x_{0}/a, g(x_{0}/a)) における接線を別々の x-y 平面に描け。ただし、それぞれの接線の式を明示し、また g のグラフの接線の式は f もしくはその微分を用いてあらわすこと。

2) 一次変換 ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) ↦ ( \begin{matrix}x/a \\ y \end{matrix} ) で y = f(x) のグラフとその (x_{0}, f(x_{0})) における接線を写して図示し、 g のグラフと比較せよ。