２００２年度解析学Ｉ演習（第８回） ’02/5/30 13:10〜14:40

R 上の C^{1}-級関数 f に対してその微分を f′ であらわす。

問１．以下を定義に従って示せ。 1) f(x) = x^{3} とするとき、 f′(x) = 3x^{2}．

2) f(x) = sin x とするとき、 f′(x) = cos x．
3) f, g を C^{1}-級関数とするとき、 (f + g)′(x) = f′(x) + g′(x)．
4) f, g を C^{1}-級関数とするとき、 (fg)′(x) = f′(x)g(x) + f(x)g′(x)．
5) f, g を C^{1}-級関数とするとき、 (f ∘ g)′(x) = f′(g(x))g′(x)．

問２．以下で定まる関数の導関数を求めよ。必要に応じ適宜公式などを用いても良い。

1) f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}, ここで ad − bc = 1．

2) f(x) = e^{g(x)}, ここで g は R 上の微分可能な関数．

3) f(x) = log g(x), ここで g は R 上の微分可能な正値関数．

4) f = log(g_{1}g_{2} ⋯ g_{n}), ここで各 g_{i} は R 上の微分可能な正値関数．

問３．以下で定める関数は x = 0 で微分可能であることを示し、更に導関数を求めよ。

1) f(x) = \frac{sin x}{x} （これは教科書にもあるので同じ問題として扱う）．

ヒント：必要であれば |x − sin x| ≤ \frac{1}{6}|x|^{3} を示した上で用いよ。この評価を用いずに解くことも可能である。

2) f(x) = \frac{cos x − 1}{x^{2}} 3) f(x) = \{ \begin{matrix}e^{− \frac{1}{x}} & x > 0 \\ 0 & x ≤ 0 \end{matrix}

問４． f を R 上定義された a ∈ R で微分可能な連続関数であるとする。このとき、関数 g を

g(x) = \{ \begin{matrix}\frac{f(x) − f(a)}{x − a} & x ≠ a \\ f′(a) & x = a \end{matrix}

で定めると、 g は R 上で連続であることを示せ。

問５． a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{p} を R の任意の異なる p 個の点とする。また、 b_{1}, b_{2}, ⋯, b_{p} を R の任意の p 個の値とする。このとき、 R 上の連続関数 f で、全ての i について f(a_{i}) = b_{i} なるものをひとつ挙げよ。注：実は f は微分可能に取れる。たとえば問３の 3) で現れた関数をうまく用いればこのような f を作ることができる。詳しくは自習。

問６．以下を示せ。 1) x についての 0 でない任意の多項式 P について lim_{x→∞} \frac{e^{x}}{|P (x)|} = ∞．

2) P を x についての多項式で、 P (0) = 0 なるものとするとき

lim_{x→+0} P (x) log x = 0．