２００２年度解析学Ｉ演習 ’02/5/23 13:10〜14:40

問１． n ∈ Z とし、 f_{n}(x) = sin(2πnx) とおく。 f_{n}(0) = 0, f_{n}(1) = sin 2πn = 0 であるから、中間値の定理により x ∈ [0, 1] で、 f_{n}(x) = 0 なる x が存在する。このような x ∈ [0, 1] の数を数えよ。

問２． f_{n}(x) = x^{n} とする。ただし、 n ∈ Z, n > 0 とする。 f_{n}(0) = 0, f_{n}(1) = 1 であるから、中間値の定理により x ∈ [0, 1] で、 f_{n}(x) = \frac{1}{2} なる x が存在する。このような x を各 n に対してひとつずつ定め（、それを例えば x_{n} とするとき）、 |x_{n}| と |1 − x_{n}| を具体的にあらわし、 lim_{n→∞} |x_{n}|, lim_{n→∞} |1 − x_{n}| を調べよ。

ヒント： x_{n} は実は唯一に定まる。注： |x_{n}| は 0 と x_{n} の距離を、 |1 − x_{n}| は 1 と x_{n} の距離をそれぞれあらわす。

問３．以下の式で定まる関数の (0, 1) における上限、下限、最大値、最小値を（存在すれば）求めよ。

1) f(x) = sin πx 2) f(x) = x^{2}

3) f(x) = \{ \begin{matrix}x & x > \frac{1}{2} \\ 0 & x ≤ \frac{1}{2} \end{matrix} 4) f(x) = sin 4πx

問４． f を (0, 1) で定義された関数とし、 sup_{0<x<1} f(x) を f の (0, 1) における上限と

する。このとき、 −f の (0, 1) での下限 inf_{0<x<1} (−f(x)) は − sup_{0<x<1} f(x) に等しいこ

とを示せ。

問５． 1) f, g を R 上連続な正値関数とする。このとき

sup_{x∈R} f(x)g(x) ≤ (sup_{x∈R} f(x)) (sup_{x∈R} g(x))

が成り立つことを示せ。

2) R 上連続な正値関数 f, g で、 sup_{x∈R} f(x)g(x) ≠ (sup_{x∈R} f(x)) (sup_{x∈R} g(x)) である例

を挙げよ。

問６． f を R 上の連続関数、 a, b ∈ R, a < b, f(a) < 0 < f(b) とする。このとき、適当な c ∈ [a, b] が存在し、 f(c) = 0 であることを以下の手順で示せ（中間値の定理の特別な場合）。

1) a_{i}, b_{i}, c_{i} を以下のように帰納的に定める。 i) a_{1} = a, b_{1} = b とおく。 ii) a_{i}, b_{i} が i = k まで定まっているとして、 c_{k} = \frac{a_{k}+b_{k}}{2} とおく。 f(c_{k}) = 0 であれば c = c_{k} とすればよい。そこで f(c_{k}) ≠ 0 とする。 f(c_{k}) > 0 なら a_{k+1} = a_{k}, b_{k+1} = c_{k} とし、 f(c_{k}) < 0 なら a_{k+1} = c_{k}, b_{k+1} = b_{k} とおく。

これを繰り返して a_{i}, b_{i} を定める。この作業が途中で終わらないとすると、 a_{1} ≤ a_{2} ≤ ⋯ ≤ a_{i} ≤ ⋯ ≤ a_{k+1} ≤ b_{k+1} ≤ ⋯ ≤ b_{i} ≤ ⋯ ≤ b_{2} ≤ b_{1}

であることを示せ。

2) lim_{i→∞}(b_{i} − a_{i}) = 0 であることを示せ。

3) 実数の公理を用いて lim_{i→∞} a_{i} と lim_{i→∞} b_{i} が存在することを示せ。

4) 上の極限値をそれぞれ α, β とするとき、 α = β かつ、この等しい値を c とすれば c ∈ [a, b] がなりたつことを示せ。

5) f(c) = 0 であることを示せ。