２００２年度解析学Ｉ演習 ’02/5/2 13:10〜14:40

注１．今回は関数の連続、数列の収束などに関して ϵ-δ 論法もしくは ϵ-n 論法などを用いずに、高校までのように処理してよい。

注２．関数は本来は函数と記すが、ここでは教科書にあわせて関数と記す。

問１．次の関数のグラフの概形を描き、連続であるか判定せよ。

1) f(x) = \{ \begin{matrix}x & x ≥ 0 \\ x^{2} & x < 0 \end{matrix} 2) f(x) = cos \frac{1}{x}, ただし x ∈ R

3) f(x) = cos \frac{1}{x}, ただし x > 0

4) f(x) = [x] = x を超えない最大の整数, ここで x ∈ R

問２．以下の関数は全て x = 0 では定義されていないが、 x = 0 まで連続に拡張可能であるかどうか判定し、可能であればその拡張を求めよ。

1) f(x) = \{ \begin{matrix}e^{− \frac{1}{x}} & x > 0 \\ 0 & x < 0 \end{matrix} 2) f(x) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{x} & x > 0 \\ −\frac{1}{x} & x < 0 \end{matrix}

3) f(x) = \frac{x^{2}}{x}

問３．関数 f, g が以下のように与えられたとき、合成関数 g ∘ f および f ∘ g を求め、関数 g ∘ f, f ∘ g が連続であるかどうか判定せよ（関数の定義域に注意せよ）。

1) f(x) = x, g(x) = cos x 2) f(x) = log x, g(x) = e^{x}

3) f(x) = tan x, g(x) = x^{2}

問４． f(x) = x^{n}, g(x) = x^{m} とする。ただし、 n, m ∈ Z とし、任意の x ∈ R に対して x^{0} = 1 と約束する。関数 g ∘ f が R 上で（定義され）連続であるための n, m の条件を求めよ。

問５．関数 f, g が共に連続であれば g ∘ f は連続である。この逆は正しくないことを示せ。すなわち、 f, g の少なくともどちらか一方は連続ではないが、 g ∘ f は連続である例をひとつ挙げよ（なぜ例をひとつ挙げれば「この逆は正しくないことを示せ」に対する解答になっているかも説明せよ）。

問６． R 上定義された関数 f で以下の性質を持つものの例を挙げよ。 2),3) については {a_{n}} の例も挙げよ。ただし、極限は全て n → ∞ として考える。

1) 数列 {a_{n}} が実数 a に収束するとすれば、 {f(a_{n})} は f(a) に収束する。

2) 数列 {a_{n}} で実数 a に収束し、 {f(a_{n})} はある実数に収束するが、その値は f(a) ではないものが存在する。

3) 数列 {a_{n}} で、それ自身は収束しないが {f(a_{n})} はある実数に収束するものが存在する。