２００２年度解析学Ｉ演習 ’02/4/18 13:10〜14:40

問１．次の数列の n → ∞ における極限を調べよ。

1) a_{n} = \frac{n^{2} + 3n}{n^{3} + n^{2} + n + 1} 2) a_{n} = \frac{cos n}{n}

3) a_{n} = \frac{2πn}{πn^{2}} 4) a_{n} = cos \frac{π}{n}

5) a_{n} = \{ \begin{matrix}n & n ≤ 100 \\ \frac{1}{n} & n > 100 \end{matrix} 6) a_{n} = (−1)^{n} (1 − \frac{1}{n})

問２．次の漸化式で定義される数列の n → ∞ における極限を調べよ。 ※必ずしも一般項（具体的な a_{n} の式）を求める必要は無いことに注意せよ。

1) a_{1} = 100, a_{n+1} = \frac{a_{n} + 2}{2} 2) a_{1} = \frac{1}{2}, a_{n+1} = a_{n}^{100}

3) a_{1} = 1, a_{n+1} = a_{n} + n^{3} 4) a_{1} = 10, a_{n+1} = a_{n} + \frac{1}{n}

問３．次の数列について lim_{n→∞} a_{n}, lim_{n→∞} b_{n}, lim_{n→∞} \frac{a_{n}}{b_{n}} が存在するか調べ、さらに、

\frac{lim_{n→∞} a_{n}}{lim_{n→∞} b_{n}} = lim_{n→∞} \frac{a_{n}}{b_{n}} が成り立っているかどうか調べよ。

1) a_{n} = 1 + \frac{1}{n}, b_{n} = 1 + \frac{1}{n^{2}} 2) a_{n} = n^{2} + n, b_{n} = n^{2} + 1

3) a_{n} = 1, b_{n} = 2^{n} 4) a_{n} = \frac{1}{n}, b_{n} = \frac{1}{n^{2}}

問４． a_{1} = −2, a_{n+1} = \frac{a_{n}^{2} + 2}{2a_{n}} で定まる数列 \{a_{n}\} は

1) 常に a_{n} < −\sqrt{2} を満たすことを示せ。

2) 単調増加であることを示せ。

3) lim_{n→∞} a_{n} = −\sqrt{2} であることを示せ。

ヒント； b_{n} = a_{n} + \sqrt{2} としてみよ。

問５．有理数全体のなす集合を（一般に） Q で表す。また、整数全体のなす集合を（一般に） Z で表す。

1) 教科書の「実数の公理群」の R を Q に置き換えて考えた場合、「公理群 I,II」は満たされることを示せ。

2) Q は「実数の公理群」の III を満たさないことを示せ。必要であれば −\sqrt{2} は有理数でない、すなわち Q の元でないことと、問３を用いてよい。 ※「実数の公理群 III」をもう少し厳密に書けば、「実数からなる有界単調列は収束する」である。 R を Q に置き換えれば「有理数からなる有界単調列は収束する」となる。これが成り立たないことを示せということである。

3) Z について、「実数の公理群」のどれが成り立ち、どれが成り立たないか調べよ。