２００１年度幾何学Ａ演習（第９回） ’01/6/13 15:00〜16:30

第１基本型式とは、接ベクトルの長さ（の２乗）を与える物であった。実際には第１基本型式とは接ベクトル同士の内積を計算する方法を指定しているものであると考えた方が良い。

まず ℝ^{2} の点 p を固定し、 T_{p}ℝ^{2} のベクトルを考えた場合には内積と長さは実質的に同じであることを確かめる。

定義１． ( · , · )_{p} で T_{p}ℝ^{2}(= ℝ^{2}) の接ベクトルの通常の内積を表す。また、 ∥ · ∥_{p} で、 T_{p}ℝ^{2} の通常の長さを表す。

問２． v, w ∈ T_{p}ℝ^{2} について次を示せ。 1) ∥v∥_{p}^{2} = (v, v)_{p}

2) (v, w)_{p} = \frac{1}{2} (∥v + w∥_{p}^{2} − ∥v∥_{p}^{2} − ∥w∥_{p}^{2})

問２は内積がわかれば長さが計算でき、逆に長さがわかれば内積が計算できるということを示している。したがって、少なくとも ℝ^{2} のベクトルの普通の長さ・内積に関してはどちらを考えることも本質的には同じである。

問３． a_{11}, a_{12}, a_{22} をそれぞれ実数とする。

1) a_{11} = (\frac{∂}{∂x}_{p}, \frac{∂}{∂x}_{p})_{p} , a_{12} = (\frac{∂}{∂x}_{p}, \frac{∂}{∂y}_{p})_{p} , a_{22} = (\frac{∂}{∂y}_{p}, \frac{∂}{∂y}_{p})_{p} となる

T_{p}ℝ^{2} の内積は高々一つ存在することを示せ（つまり、存在しないかもしれないが、存在するとすれば唯一つであることを示せ）。

2) 1) で、内積が存在するための条件を求めよ。

定義４． dx_{p} （あるいは dy_{p}）と dy_{p} （あるいは dx_{p}）の積 dx_{p} · dx_{p}, dy_{p} · dy_{p}, dx_{p} ·dy_{p} を T_{p}ℝ×T_{p}ℝ から ℝ への写像として次のように定める。即ち、 v, w ∈ T_{p}ℝ^{2} に対し

(dx_{p} · dx_{p})(v, w) = dx_{p}(v)dx_{p}(w)
(dx_{p} · dy_{p})(v, w) = \frac{1}{2} (dx_{p}(v)dy_{p}(w) + dy_{p}(v)dx_{p}(w))
(dy_{p} · dy_{p})(v, w) = dy_{p}(v)dy_{p}(w)

と定める。一般の ω = adx_{p} + bdy_{p}, η = a′dx_{p} + b′dy_{p} の積 ω · η は

(ω · η)(v, w) = \frac{1}{2} (ω(v)η(w) + η(v)ω(w))

で定める。

問５．

1) 上の定義で、最後の一般の積 ω · η の定義はその上の定義と矛盾していないことを確かめよ。

2) dx_{p} · dy_{p} = dy_{p} · dx_{p} を示せ。

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3) ω = adx_{p} + bdy_{p}, η = a′dx_{p} + b′dy_{p} のとき、 ω · η を dx_{p} · dx_{p}, dy_{p} · dy_{p} 及び dx_{p} · dy_{p} を用いて表せ。

4) T_{p}ℝ^{2} の通常の内積は dx_{p} · dx_{p} + dy_{p} · dy_{p} に等しいことを示せ（問３と定義４を使う）。

5) 問３によれば、 a_{11}, a_{12}, a_{22} が一定の条件を満たせば問３ 1) に示した条件を満たす内積が存在する。この内積を αdx_{p} · dx_{p} + 2βdx_{p} · dy_{p} + γdy_{p} · dy_{p} の形に表せ（ヒント：問３ 1) の条件から α, β, γ の候補はすぐに決まる。後はこの α, β, γ について αdx_{p} · dx_{p} + 2βdx_{p} · dy_{p} + γdy_{p} · dy_{p} が本当にもとの内積に等しいことを示せば良い）。

問２及び問５の 5) から、少なくとも ℝ^{2} の一点 p を固定すれば T_{p}ℝ に属するベクトルの内積を考えることと、長さを考えることと、（α > 0, αγ − β^{2} > 0 を満たす）第１基本型式を考えることは全く同じことであることがわかる。

ここまでは ℝ^{2} の点 p を固定して考えてきたが、この p を動かすことを考える。つまり ℝ^{2} の各点 q に対して T_{q}ℝ^{2} 上で定まった内積を与えることを考える。これは対応

q ↦ E(q)dx_{q} · dx_{q} + 2F (q)dx_{q} · dy_{q} + G(q)dy_{q} · dy_{q}

を考えるということであるが、この対応を Edxdx + 2F dxdy + Gdydy と記し ℝ^{2} の第１基本型式と呼んだのである。ここで、第１基本形式が ℝ^{2} のみから構成され、 ℝ^{2} は ℝ^{3} に含まれている必要はまったくないことに注意せよ。

問６． ℝ^{2} の通常の内積は ℝ^{2} の任意の点 p について (\frac{∂}{∂x}_{p}, \frac{∂}{∂x}_{p})_{p} = 1,

(\frac{∂}{∂x}_{p}, \frac{∂}{∂y}_{p})_{p} = 0, (\frac{∂}{∂y}_{p}, \frac{∂}{∂y}_{p})_{p} = 1 とおくことにより得られる。これは dxdx +

dydy に等しいことを示せ（ヒント：問５ 4) と定義さえ分かっていればほぼ自明である）。

問７． ℝ^{2} に三つの第１基本型式 I, J と K を与える。

1) f : (ℝ^{2}, I) → (ℝ^{2}, J) が等長写像であるとき、 f^{−1} は (ℝ^{2}, J) から (ℝ^{2}, I) への等長写像であることを示せ。

2) f : (ℝ^{2}, I) → (ℝ^{2}, J), g : (ℝ^{2}, J) → (ℝ^{2}, K) が共に等長写像であるとき、 g ∘ f も等長写像であることを示せ。

問８． ℝ^{2} に二つの第１基本型式 I = dxdx + dydy と J = 4dxdx + dydy を与える。

1) 恒等写像 id : ℝ^{2} → ℝ^{2} は (ℝ^{2}, I) と (ℝ^{2}, J) の間の等長写像でないことを示せ。

2) ℝ^{2} から ℝ^{2} への全単射である線形写像で、 2a) (ℝ^{2}, I) と (ℝ^{2}, J) の間の等長写像になっているものを一つ挙げよ。 2b) (ℝ^{2}, I) から (ℝ^{2}, I) 自身への等長写像であるものをすべて挙げよ（この

ようなものを (ℝ^{2}, I) の自己等長写像という）。 2c) (ℝ^{2}, J) の自己等長写像であるものをすべて挙げよ（ヒント：直接計算をするか、もしくは 2a),2b) の結果を使う。後者の場合は問７が分かっていないと苦しいかもしれない）。