複素余次元１の葉層の擬等角変形について

足助太郎（東京大学大学院数理科学研究科）

M を滑らかな多様体, F を M の横断的に複素解析的な複素余次元 1 の葉層とする. M の境界 ∂M が空でないときには F は ∂M に横断的であるものとする. つまり, 次が成り立っているとする.

定義. F は M のはめ込まれた部分多様体の族 {L_{α}} であって, 以下の条件を満たす. 即ち, M の局所座標系 {(U_{λ}, φ_{μλ})} であって, 以下の条件

1) U_{λ} ≅ V_{λ} × D_{λ} （同相） . ただし, D_{λ} は C の開円盤（開球）で, V_{λ} は R^{p} あるいは R^{p−1} × [0, 1) の開集合.

2) 上の同一視の下で, L_{α} ∩ U_{λ} の連結成分は V_{λ} × {p}, p ∈ D_{λ} と書ける.

3) やはり上の同一視の下で, φ_{μλ}(x, z) = (ψ_{μλ}(x, z, z̄), γ_{μλ}(z)), γ_{μλ} は C の局所双正則微分同相, が成り立つ.

4) ∂M ≠ ϕ ならば L_{α} ⋔ ∂M （横断的）が成り立つ. をみたすものが存在する. もう少し一般に, 上の 3) の代わりに

3’) やはり上の同一視の下で, φ_{μλ}(x, z) = (ψ_{μλ}(x, z, z̄), γ_{μλ}(z, z̄)), とあらわし, Γ を γ_{μλ} 達が生成する C の局所同相からなる擬群とすると, ある K < +∞ が存在して Γ の任意の元は K-quasiconformal である.

としたとき, F を transversely K-quasiconformal foliation と呼ぶ. 単に transversely quasiconformal foliation あるいは K-qc foliation とも呼ぶ. 以下では話を簡単にするために γ_{μλ} は向きを保つとする. このとき, 1-qc foliation は transversely holomorphic foliation である.

注意. ∂M ≠ ϕ であれば, L_{α} ∩ ∂M を連結成分に分けたものを全て集めたものは ∂M の横断的に複素解析的あるいは K-qc な葉層構造を定める. また, {U_{λ}} 達は高々可算個であるとしてよい. 最後に, D_{λ} ⊂ C は適当に平行移動して, C の部分集合として (D_{λ}の閉包) ∩ (D_{μ}の閉包) = ϕ （λ ≠ μ）としてよい.

最初の同一視 U_{λ} ≅ V_{λ}×D_{λ} において U_{λ} の点 x_{λ} を適当に固定し, D_{λ} ⊂ C と {x_{λ}}× D_{λ} を同一視する. すると, {γ_{μλ}} 達は T = ∐ D_{λ}(⊂ C) に, local biholomorphic diffeomorphisms あるいは local K-qc homeomorphisms として作用する. より正確には, これらの γ_{λμ} により定まる擬群を Γ で表すと, Γ が T に作用する.

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2004年10月1日研究集会「リーマン面に関連する位相幾何学」於東京大学大学院数理科学研究科

定義. T の複素構造の Γ -同変な擬等角変形を (M, F) の擬等角変形と呼ぶ. また, これから自然に得られる M の葉層構造も (M, F) の擬等角変形と呼ぶ.

注意. (M, F′) を (M, F) の擬等角変形とすると, M から M への同相写像であって, F を F′ に写すものが存在する. 言い換えれば, (M, F′) は (M, F) と同相である.

本講演では以下の定理を紹介したい.

定理. F を M の K-qc foliation であって, 境界に横断的であるものとする（∂M = ϕ でもよい） . W を M の余次元 0 の部分多様体であって, F を W に制限すると, 横断的に複素解析的であるとする（W = ϕ でも良い） . ここで, W の 2 点を M 内で結ぶ任意の leaf path （F の葉に常に接している path）について, その path に沿ったホロノミーが複素解析的であるとする. このとき, F の擬等角変形 F′ であって, W 上では元の横断的な複素構造と一致するような横断的な複素構造をもつものが存在する.

\underline{証明のあらすじ}. 証明には Tukia による「複素歪曲度（complex dilatation）の双曲的平均」 [2] を用いる. まず W で与えられた横断的な複素構造を可能な限りホロノミーで流す. 定理の条件からこれは, W からホロノミーで到達できる部分に関しては well-defined なことがわかる（この段階でも「双曲的平均」を用いる） . 一方, W からホロノミーでは到達できない部分を W′ としたとき, W′ においては複素歪曲度の W′ 内でのホロノミーによる双曲的平均を取って, それを新たに複素歪曲度と考えて対応する擬等角変形を考えると, 求める横断的な複素構造が得られる.

系として横断的に複素解析的な葉層同士の貼り合わせが自然な条件の下で可能なことが分かる. また, 上の定理から S^{3} 上の葉層構造の古典的に知られている変形についての別な解釈を与えることが出来る. この解釈から, 複素二次特性類の微分位相不変性は微分可能性を低くしすぎた場合には成り立たないことなどがわかる. これらについても時間が許せば触れたい.

References

1. T. Asuke, Existence and Quasiconformal Deformations of Transversely Holomorphic Foliations, submitted.

2. P. Tukia, On two-dimensional quasiconformal groups, Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math. 5 (1980), no. 1, 73–78.

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