横断的に複素解析的な葉層構造の変形について

足助太郎（東京大学大学院数理科学研究科）

M を滑らかな, 一般には境界を持つ多様体とし, F を M の横断的に複素解析的な複素余次元 1 の葉層で, 境界に横断的であるものとする. つまり, 次が成り立っているとする.

定義. F は M のはめ込まれた部分多様体の族 {L_{α}} であって, 以下の条件を満たす. 即ち, M の局所座標系 {(U_{λ}, φ_{μλ})} であって,

1) U_{λ} ≅ V_{λ} × D_{λ} （同相） . ただし, V_{λ} は R^{p} の, D_{λ} は C の開円盤（開球） .

2) 上の同一視の下で, L_{α} ∩ U_{λ} の連結成分は V_{λ} × {p}, p ∈ D_{λ} と書ける.

3) やはり上の同一視の下で, φ_{μλ}(x, z) = (ψ_{μλ}(x, z), γ_{μλ}(z)), γ_{μλ} は C の局所正則微分同相, が成り立つ.

4) M の境界 ∂M が空でないときには, L_{α} ⋔ ∂M （横断的）が成り立つ. であるようなものが存在する.

注意. ∂M ≠ ϕ であれば, L_{α} ∩ ∂M （を連結成分に分けたもの）を全て集めたものは ∂M の横断的に複素解析的な複素余次元 1 の葉層構造を定める. また, {U_{λ}} 達は高々可算個であるとしてよい. 最後に, D_{λ} ⊂ C は適当に平行移動して, C の部分集合として D_{λ} ∩ D_{μ} = ϕ （λ ≠ μ）としてよい.

このような葉層は, 例えば C^{2} 上の複素解析的なベクトル場の積分曲線を考えると自然に現れる（特異点はとりあえず除いて考える） . 葉層構造を調べる立場からは, このような葉層は例えば次のような点で興味深い：

0) 素朴に, 実のものばかりではなく, 複素のものも考えてみたい.

1) 実余次元が 2 であるような幾何構造として, 複素構造は自然である. また, リーマン面はいろいろな意味でよく研究されているのでその応用が期待できる.

2) 対象が十分豊富にあり, 状況が過度に単純にならない（実余次元が 2 以上になると, 一般に葉層構造を考えてしまうと対象が多すぎて研究が難しい） .

さまざまな性質をもつ葉層構造を得る一つの有効な方法は所謂「切り貼り」である. そこで, 次のような問を考えてみる.

問. (M_{1}, F_{1}), (M_{2}, F_{2}) が上のような葉層構造であるとする. ∂M_{1} から ∂M_{2} への微分同相写像であって, F_{1}|_{∂M_{1}} を F_{2}|_{∂M_{2}} に写すものが存在するとしたすれば, 複

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2004年8月3日多変数関数論サマーセミナー於三重県希望荘

素構造を忘れれば M_{1} ∪_{φ} M_{2} 上に自然な葉層構造 F_{1} ∪_{φ} F_{2} が得られる. この葉層 F_{1} ∪_{φ} F_{2} が横断的に複素解析的になるための条件を与えよ.

もし φ が境界に現れる葉層構造の横断的な複素構造を保てば, F_{1} ∪_{φ} F_{2} には自然に横断的に複素解析的な構造が入る. しかし, 実際に例を考察する場合にはしばしば φ は単に葉層構造を保つ微分同相写像である場合も多く, このままでは不便である. 今回は, 擬等角写像・擬等角変形を用いて次のような答えを得たので, これについて述べる.

答. F_{2} の横断的な複素構造を擬等角変形してよいことにすると, 自然な仮定の下で M_{1} ∪_{φ} M_{2} に横断的に複素解析的な葉層構造を与えることが出来る.

定理を正確に述べるために少し用意をする. 最初の同一視 U_{λ} ≅ V_{λ} × D_{λ} において U_{λ} の点 x_{λ} を適当に固定し, D_{λ} ⊂ C と {x_{λ}} × D_{λ} を同一視する. すると, {γ_{μλ}} 達は T = ∐ D_{λ}(⊂ C) に, 局所正則微分同相として作用する. より正確には, これらの γ_{λμ} により定まる擬群を Γ_{T} で表すと, Γ_{T} が T に作用する.

定義. T の複素構造の Γ -同変な擬等角変形を (M, F) の擬等角変形と呼ぶ. また, これから自然に得られる M の葉層構造も (M, F) の擬等角変形と呼ぶ.

注意. 擬等角変形によって得られる葉層構造は全て同相である.

さて, (M_{1}, F_{1}), (M_{2}, F_{2}), φ を上のような葉層構造と, 境界上の葉層構造を保つ微分同相写像とする. また, (∂M_{2}, F_{2}|_{∂M_{2}}) には φ により F_{1} から定まる横断的な複素構造が定まるが, これを ∂M_{2} のカラー近傍 W に自明な方法で拡張しておく. そして, (W, F_{2}|_{W}) に対して T_{W}, Γ_{T_{W}} を上述の T, Γ_{T} と同様に定め, Γ̃_{T_{W}} を以下のように定める.

定義. Γ̃_{T_{W}} を T_{W} に両端点を持つ F_{2} の leaf paths （F_{2} の葉に含まれる道）から誘導される T の局所微分同相写像により定まる擬群とする. ここで leaf path は W に含まれるとは限らない.

すると, 次は簡単であるが重要である.

考察. 仮に F_{1} から W ⊂ M_{2} に定まった横断的な複素構造が F_{2} の擬等角変形により M_{2} 全体に拡張できたとすれば Γ̃_{T_{W}} は Γ_{T_{W}} の双正則局所微分同相写像による拡大でなければならない.

実は逆も正しい. これが上述の「答」である.

定理. (M_{1}, F_{1}), (M_{2}, F_{2}) を上のような葉層構造とし, ∂M_{1} ≅ ∂M_{2} はコンパクトとする. さらに Γ̃_{T_{W}} は Γ_{T_{W}} の双正則局所微分同相写像による拡大であるとする. このとき, ある F_{2} の擬等角変形 F′_{2} が存在して F_{1} ∪_{φ} F′_{2} は M_{1} ∪_{φ} M_{2} の横断的に複素解析的な葉層構造を定める。

注意. 上述の注意により, 出来上がった葉層 F_{1} ∪_{φ} F′_{2} は F_{1} ∪_{φ} F_{2} と同相である.

証明の概略. 次のように M_{2} 上にホロノミー不変な Beltrami 係数を構成する. まず, (M_{2}, F_{2}) に対して冒頭に述べたような T を T_{W} を含むように取り, T 上に Γ_{T} 不変な Beltrami 係数であって, T_{W} 上では φ によって自然に構成されるものに一致するものを構成する. この際, Tukia の定理[2] を擬群に対して適用したものを用いる. 非常に単純に述べると, 最初に与えられた T_{W} 上の Beltrami 係数を可能な限りホロノミーでずらしてやってその平均を取ると求める T 上の Beltrami 係数が得られる. このとき, Γ̃_{T_{W}} は Γ_{T_{W}} の双正則局所微分同相写像による拡大であるという仮定から, ホロノミーによる平均を取る操作では最初に与えられた T_{W} 上の Beltrami 係数は変わらないことがわかる. 一方, 元の葉層が横断的に複素解析的であることから Beltrami 係数の有限性が保証されるので, 可測 Riemann 写像定理を用いて葉層の擬等角変形を得る. 上に述べたことから, この変形は φ によって境界近くに与えた横断的な複素構造を変えないので, 変形の後に F′_{2} と F_{1} を貼り合わせることが出来る.

補足. Beltrami 係数に関係する有限性を仮定すれば, 例えば境界のコンパクト性は不要である. また, 上の定理は本来は「‘K-quasiconformal foliation’ は擬等角変形により横断的に複素解析的な葉層構造に変形できる.」という定理から従う.

この定理を使うと, S^{3} 上の葉層構造の古典的に知られている変形についての別な解釈を与えることが出来る. 特に, 複素二次特性類の微分位相不変性は微分可能性を低くしすぎた場合には成り立たないことがわかる.

References

1. T. Asuke, Existence and Quasiconformal Deformations of Transversely Holomorphic Foliations, submitted.

2. P. Tukia, On two-dimensional quasiconformal groups, Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math. 5 (1980), no. 1, 73–78.

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