１９９８年度幾何学Ａ演習（第 11 回） ’98/7/15 15:00〜17:15

S を p : V → ℝ^{3} で表された曲面片とする。ここで、 V は ℝ^{2} の開集合である。 γ : ℝ → S を S 内の曲線とする。簡単のために γ は孤長で表示されているとする。このとき γ(s) = p(u(s), v(s)) と表すことができた。

問題１．この時、 γ′(s) は S の接ベクトルであることをしめせ。即ち、 γ′(s) は p_{u} 及び p_{v} の一次結合で表されることを示せ。

今、 p_{u}, p_{v}, n(曲面の単位法線ベクトル) は一次独立であることに注意して、

γ′′(s) = a(P)p_{u}(P) + b(P)p_{v}(P) + κ_{n}(P)e(P)

と書き表す。ここで、 P = γ(s) である。

定義２．

k_{g}(s) = a(P)p_{u}(P) + b(P)p_{v}(P)
k_{n}(s) = κ_{n}(P)n(P)

と置き、それぞれ γ の測地曲率ベクトル、法曲率ベクトルと呼ぶ。測地曲率ベクトルは S の接ベクトルである。また、 κ_{n} を法曲率と呼ぶ。これらは曲線と、曲面の両方を定めて初めて定義されることに注意すること。また、単位法線ベクトルは曲面片の表示には依らなかったから、測地曲率ベクトルや、法曲率ベクトルは曲面と、それに含まれる曲線について定めることができる。

問題３． κ_{n} = γ′′ · n = −γ′ · n′ を示せ。

問題４． κ_{n} = L (\frac{du}{ds})^{2} + 2M \frac{du}{ds} \frac{dv}{ds} + N (\frac{dv}{ds} )^{2} を示せ。

ヒント：問題１の結果と問題３を用いよ。

定義５．曲面片 S 内の曲線をいろいろ考えると、 k_{g} や k_{n} は色々と変わる。特に、 k_{n}(P) の最大値を κ_{1}(P)、最小値を κ_{2}(P) で表し、 P における主曲率という。また、 κ_{1}(P) ≠ κ_{2}(P) の時、 κ_{1}(P) を与える曲線の接ベクトルを e_{1}、 κ_{2}(P) を与える曲線の接ベクトルを e_{2} として、主方向と呼ぶ。問題４によれば、 k_{n} は第２基本量と曲線の接ベクトルのみで定まるから、このように e_{1}, e_{2} を定めることには意味がある。

問題６．曲面 S の点 P における接ベクトル w = ξP_{u} + ηP_{v} の大きさの２乗は Eξ^{2} + 2F ξη + Gη^{2} で与えられることを示せ。ここで、 E, F, G は曲面の第１基本量とする。

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問題７^{∗}．条件 Eξ^{2} + 2F ξη + Gη^{2} = 1 の下での関数 Lξ^{2} + 2Mξη + Nη^{2} の最大値が κ_{1} 、最小値が κ_{2} であることを示せ。ヒント：ラグランジュの未定係数法を用いる。

定義８．

K = κ_{1}κ_{2}
H = \frac{κ_{1} + κ_{2}}{2}

と置き、それぞれガウス曲率、平均曲率と呼ぶ。

問題９^{∗}．

K = \frac{LN − M^{2}}{EG − F^{2}}
H = \frac{EN − 2F M + GL}{2(EG − F^{2})}

を示せ (これをガウス曲率、平均曲率の定義にすることもある)。ヒント：問題７を解く過程でこれは分かる。

問題１０．次の曲面の概形を描き、主曲率およびガウス曲率、平均曲率をそれぞれ求めよ。問題９の結果は用いても良い。また、曲面片ではない曲面については適宜曲面片に分割するなどして求めよ。

1) 平面 {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | ax + by + cz = d}

2) 円柱面 {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} = a^{2}} (a > 0)

3) 球面 {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} + z^{2} = r^{2}} (r > 0)

4) 一葉双曲面 {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} − z^{2} = 1}

5) 二葉双曲面 {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} − z^{2} = −1}

6) 円錐 {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} − z^{2} = 0, z > 0}

7) 双曲放物面 {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x^{2} − y^{2} + z = 0, }

8) トーラス {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | (x, y, z) = p(u, v), (u, v) ∈ ℝ^{2}} ここで、 p(u, v) = ((a + b cos u) cos v, (a + b cos u) sin v, b sin u) (a > b > 0) とする。

定義１１． S を ℝ^{3} 内の曲面、 γ を S 内の曲線とする。 γ が測地線であるとは、測地曲率ベクトル k_{g} が恒等的に 0 になることをいう。

問題１２． S を z 軸に関する回転面とする。つまり、

S = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | (x, y, z) = (f(u) cos v, f(u) sin v, g(u)), u, v ∈ ℝ^{2}}

とかけているとする。このとき各子午線

γ_{v_{0}} = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | (x, y, z) = (f(t) cos v_{0}, f(t) sin v_{0}, g(t)), t ∈ ℝ}

の測地的曲率ベクトルは 0 であることを示せ。つまり各 γ_{v_{0}} は測地線である。