１９９８年度幾何学Ａ演習（第 10 回） ’98/6/24 15:00〜17:15

定義１．以前「曲面の定義その２」として定めたものを、講義に習って曲面片と呼ぶことにする。曲面片という言葉を使えば、一般の曲面は曲面片を「張り合わせて」得られるものである。

定義２． S を ℝ^{3} の曲面片とする。すると、 (以前の問題から、 ) ℝ^{2} のある開集合 V と、 V で定義された滑らかな写像 p = (p_{1}, p_{2}, p_{3}) : V → ℝ^{3} で、ベクトル

p_{u} = (\frac{∂p_{1}}{∂u} , \frac{∂p_{2}}{∂u} , \frac{∂p_{3}}{∂u} )
p_{v} = (\frac{∂p_{1}}{∂v} , \frac{∂p_{2}}{∂v} , \frac{∂p_{3}}{∂v} )

が一次独立であるものが存在して、

S = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | (x, y, z) = p(u, v), (u, v) ∈ V }

とかける。ここで、

n = \frac{p_{u} × p_{v}}{|p_{u} × p_{v}|}

と置き、曲面片 S の各点 P について、 n(P) を P における S の単位法線ベクトルという。一般の曲面については、曲面の各点 P について、 P を含み、曲面に含まれる曲面片をとり、上のようにして考える。

問題３^{∗}． ℝ^{2} の開集合 V で定義された滑らかな写像 p, q : V → ℝ^{3} が同じ曲面片を定めるとする。この時、単位法線ベクトル n は p を使って求めても、 q を使って求めても同じであることを示せ。従って、曲面片ではない一般の曲面に対しても単位法線ベクトルを定めることができる。

定義４．上の記号をそのまま使う。

L = n · p_{uu}
M = n · p_{uv}
N = n · p_{vv}

と置き、 (曲面 S の) 第２基本量という。但し、 ‘ · ’ はベクトルの内積を表す。また、形式的に

II = Ldu^{2} + 2Mdudv + Ndv^{2}

と置き、第２基本型式という。ここで微分形式の積はやはり外積ではない。

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問題５．以下の等式を示せ (全部示すこと)。

L = −n_{u} · p_{u},
M = −n_{u} · p_{v} = −n_{v} · p_{u},
N = −n_{v} · p_{v}

定義６． U, V をそれぞれ ℝ^{2} の開集合とする。 p : V → ℝ^{3}, q : U → ℝ^{3} が同じ曲面片を定めるとは次が成り立つことをいう。即ち、

1) p(V) = q(U)

2) q^{−1} ∘ p : V → U が微分同相写像

注意：曲面片の定義から、 q は U から q(U) への微分同相写像であるから、 q(U) で定義された q の逆写像が存在する。これを q^{−1} と表している (q^{−1} は ℝ^{3} の開集合で定義されているとは決して考えていない)。

問題７^{∗}．次の意味で第２基本型式は曲面の表示の仕方 (p の選び方) によらないことを示せ。即ち、 p, q が同じ曲面片を定めている時、まず p を使って第２基本量 L, M, N を求め、

II = Ldu^{2} + 2Mdudv + Ndv^{2}

と表し、次に q を使って第２基本量 L′, M′, N′ (L, M, N の微分ではない) を求め、

II_{q} = L′dt^{2} + 2M′dtds + N′ds^{2}

とおく。ここで、 u, v は V の座標で、 t, s は U の座標である。すると、 φ = q^{−1} ∘ p とすれば、 (t, s) = φ(u, v) = (φ_{1}(u, v), φ_{2}(u, v)) であるが、このとき、

II = (L′ ∘ φ)(dφ_{1})^{2} + 2(M′ ∘ φ)dφ_{1}dφ_{2} + (N′ ∘ φ)(dφ_{2})^{2}

であることを示せ。ただし、微分形式の積は素朴に数のように取る (外積ではない)。

問題８．次の曲面の概形を描き、単位法線ベクトル及び第２基本量を求めよ。曲面片でない曲面については適宜曲面片に分割するなどして求めること。

1) 平面 {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | ax + by + cz = d}

2) 円柱面 {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} = a^{2}} (a > 0)

3) 球面 {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} + z^{2} = r^{2}} (r > 0)

4) 一葉双曲面 {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} − z^{2} = 1}

5) 二葉双曲面 {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} − z^{2} = −1}

6) 円錐 {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} − z^{2} = 0, z > 0}

7) 双曲放物面 {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x^{2} − y^{2} + z = 0, }

8) トーラス {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | (x, y, z) = p(u, v), (u, v) ∈ ℝ^{2}} ここで、 p(u, v) = ((a + b cos u) cos v, (a + b cos u) sin v, b sin u) (a > b > 0) とする。