１９９８年度幾何学Ａ演習（第９回） ’97/6/17 15:00〜17:15

定義１． ℝ^{3} 内の曲面 S が ℝ^{2} のある開集合 V 上で定義された滑らかな写像 p = (p_{1}, p_{2}, p_{3}) : V → ℝ^{3} で与えられているとする：

S = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | (x, y, z) = p(u, v), (u, v) ∈ V }

ここで、 (u, v) は ℝ^{2} の通常の座標とし、更に

( \begin{matrix}\frac{∂p_{1}}{∂u} & \frac{∂p_{1}}{∂v} \\ \frac{∂p_{2}}{∂u} & \frac{∂p_{2}}{∂v} \\ \frac{∂p_{3}}{∂u} & \frac{∂p_{3}}{∂v} \end{matrix} )

の階数は V 上で常に 2 であるとする。

γ : ℝ → S を S 内の滑らかな (特異点の無い) 曲線とする。すると、ある関数 u, v : ℝ → ℝ が存在し、 γ(t) = p(u(t), v(t)) とかける (u, v が座標と紛らわしいが、ここではわざとそうしている。混乱するようであれば、例えば関数 u, v を z, w に変えて、 γ(t) = p(z(t), w(t)) と思えば良い)。

問題２． 1) γ の点 γ(t) における接ベクトルを p, u, v を用いて表せ。

2) 曲線の長さは、接ベクトルの大きさを積分して得られたことに注意して、 γ([a, b]) の長さを p, u, v を用いて表せ。

記号を簡単にするため、 V ⊂ ℝ^{2} 上の関数 g について\frac{∂g}{∂u} = g_{u}, \frac{∂g}{∂v} = g_{v} と略記

する。また、 p = (p_{1}, p_{2}, p_{3}) について、 p_{u} = (\frac{∂p_{1}}{∂u} , \frac{∂p_{2}}{∂u} , \frac{∂p_{3}}{∂u} ) とおく。

定義３． (曲面の第１基本型式)

E = p_{u} · p_{u}, F = p_{u} · p_{v}, G = p_{v} · p_{v}

とそれぞれ定め、曲面 S の第１基本量と呼ぶ。第１基本量は (取り敢えず) S の表示のしかた p による。

問題４． S 内の曲線 γ が γ(t) = p(u(t), v(t)) と表されているとする。 1) u̇ = u_{t}, v̇ = v_{t} とする時、 γ([a, b]) の長さ L[a, b] は

L[a, b] = ∫_{a}^{b} \sqrt{E(u̇)^{2} + 2F u̇v̇ + G(v̇)^{2}}dt

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で表されることを示せ。 2)^{∗} p を変えると u, v も変わるが、それにもかかわらず L[a, b] の値は一定であ

ることを示せ。

問題５．以下のそれぞれの写像 p : V → ℝ^{3} が定義１の条件を満たすことを確かめ、さらに p で与えられる曲面の概形を描くと共に第１基本量を求めよ。

1) p(u, v) = (u, v, au + bv), V = ℝ^{2}

2) p(u, v) = (u, v, \sqrt{r^{2} − u^{2} − v^{2}}), V = \{(u, v) ∈ ℝ^{2} | u^{2} + v^{2} < r^{2}\}

3) p(u, v) = (r cos u cos v, r cos u sin v, r sin v), V = (0, 2π) × (0, π)

4) p(u, v) = (u, v, \sqrt{u^{2} + v^{2} − 1}), V = \{(u, v) ∈ ℝ^{2} | u^{2} + v^{2} > 1\}

5) p(u, v) = (a sinh u cos v, b sinh u sin v, c cosh u), V = ℝ^{2}

6) p(u, v) = ((a + b cos u) cos v, (a + b cos u) sin v, c sin u), V = ℝ^{2}, 但し a > b > 0 且つ a > c > 0 とする。

問題６．

1) 球面 S^{2} = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1} と平面 H_{c} = {(x, y, z) | z = c} の共通部分として与えられる閉曲線を γ_{c} とする (c に関する微分ではもちろん無い)。ここで、 0 < c < 1 とする。このとき、 S^{2} (の一部) が

i) p(u, v) = (u, v, \sqrt{1 − u^{2} − v^{2}}), V = \{(u, v) ∈ ℝ^{2} | x^{2} + y^{2} < 1\} ii) p(u, v) = (cos u cos v, cos u sin v, sin v), V = (0, 2π) × (0, π)

と二通りに表されることを確かめ、それぞれの場合に γ_{c}(t) = p(u(t), v(t)) となる関数 u, v と γ_{c} の長さを求め、 γ_{c} の長さが i) と ii) で変わらないことを確かめよ。

2) 二葉双曲面の一部 P = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} − z^{2} = −1, z > 0} と平面

H_{c}, c > 1 の共通部分として与えられる閉曲線を γ_{c} とする。このとき、 P が i) p(u, v) = (u, v, \sqrt{u^{2} + v^{2} + 1}), V = ℝ^{2} ii) p(u, v) = (a sinh u cos v, b sinh u sin v, c cosh u), V = ℝ^{2}

と二通りに表されることを確かめ、それぞれの場合に γ_{c}(t) = p(u(t), v(t)) となる関数 u, v と γ_{c} の長さを求め、 γ_{c} の長さが i) と ii) で変わらないことを確かめよ。

定義７．形式的に

I = Edu^{2} + 2F dudv + Gdv^{2}

とおく。ここで、 du や dv は 1-形式であるが、その積は外積ではなく、あたかも普通の数のように素朴に考える。これを第１基本型式と呼ぶ。第１基本型式はある意味で p に依らず、 S のみで定まる。定義３で、取り敢えず、と述べたのはこの意味であるが、これ以上はここでは立ち入らない。