１９９８年度幾何学Ａ演習（第７回） ’97/6/3 15:00〜17:15

曲線は全て滑らかで、特異点がないとする。

γ(s) を孤長で径数付けられた ℝ^{3} 内の曲線とし、\frac{d^{2}γ}{ds^{2}} ≠ 0 が成り立っているとする。この時 κ(s), τ(s) をそれぞれ γ の曲率、捩率とする。また、 e_{1}(s), e_{2}(s), e_{3}(s) を先週のようにして定める。

定義１．

1. 各 s について e_{2}(s) を γ の γ(s) における主法線ベクトルといい、 e_{1}(s) と

e_{2}(s) で張られる ℝ^{3} の平面を γ の γ(s) における接触平面と呼ぶ。

2. 各 s について e_{3}(s) を γ の γ(s) における従法線ベクトルといい、 e_{1}(s) と

e_{3}(s) で張られる ℝ^{3} の平面を γ の γ(s) における展直平面と呼ぶ。

注意： γ は γ(s) において接触平面とも展直平面とも接している。

問題２．以下の曲線 γ の概形を描き、さらに γ 上の各点における接触平面および展直平面を求めよ。

1) γ(t) = (a cos t, a sin t, bt), t ∈ ℝ, a > 0

2)^{∗} γ(t) = (t, t^{2}, t^{3}), t ∈ ℝ

問題３． γ(θ) = ((2 + cos \frac{3}{2}θ) cos θ, (2 + cos \frac{3}{2}θ) sin θ, ϵ cos (\frac{3}{2}θ − \frac{π}{3} )) で与えられる曲線について次の問いに答えよ。但し、 ϵ は十分小さい正の数とする。

1) γ の周期を求め、概形を描け。

2) γ の (x, y) 平面への射影\overline{γ} の概形を描くと共に、極座標で表せ。また、極座標において (r, θ) = (r, θ + 2πn), n ∈ ℤ に注意して\overline{γ} の周期を求めよ。

3)^{∘} \overline{γ} の曲率関数を求めよ (θ に関する表示でよい)。必要なら適宜公式を用いよ

(もちろん用いなくともよい)。 4)^{∘} 接ベクトルの変化を調べることにより、\overline{γ} の回転数を調べよ。

孤長に関する曲率関数の積分により回転数は定義されていたが、適当に変数変換をすれば、 θ に関する曲率関数の積分で回転数は求まる筈である。実際

m(\overline{γ}) = \frac{1}{2π} ∫\overline{γ} κ(s)ds = \frac{1}{2π} ∫\overline{γ} κ(s(θ))\frac{ds}{dθ} dθ である。ここで、 s(θ) は一般に

は求まらないが、\frac{ds}{dθ} は比較的容易に求まることに注意。

5) 上の回転数の積分表示について、被積分関数は sin θ,cos θ の有理関数になることを示せ。

6)^{∗} x = tan \frac{θ}{2} と変数変換することにより、積分を実行せよ。必要なら

\frac{d}{dx} tan^{−1} x = \frac{1}{1 + x^{2}} を用いよ。

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