１９９８年度幾何学Ａ演習（第６回） ’97/5/27 15:00〜17:15

曲線は全て滑らかで、特異点がないとする。

空間曲線に対しても、平面曲線と同様に曲率を定義したい。曲線が孤長 s を用いて γ(s) = (x(s), y(s), z(s)) と与えられているとする。平面曲線の時には、 e_{1}(s) = \frac{dγ}{ds} (s) (接ベクトル) と定め、これを９０度正の向きに回転させたベクトル e_{2}(s) をとると、各 s についてある実数 κ(s) が存在し、\frac{de_{1}}{ds} (s) = κ(s)e_{2}(s) が成り立った。空間曲線に対しても e_{1}(s) を同様に曲線の接ベクトルとして定めることが出来るので、平面曲線の時の真似をして、 e_{2}(s) や κ(s) を定めたい。しかし、平面曲線のときとは異なり、 e_{1}(s) に直交するベクトルを自然に与える方法はないので、このようなことは一般には不可能である。

そこで、逆に平面のときの式

*  \frac{de_{1}}{ds} (s) = κ(s)e_{2}(s)

が成り立つように e_{2}(s) を長さ 1 のベクトルとして決めようとすると、このままではまだ e_{2}(s) の向きが決まらない。そこで、最後に κ(s) > 0 となるように κ(s) の値と e_{2}(s) の向きを決める。

このようなことは、\frac{de_{1}}{ds} (s) ≠ 0 の時のみ可能である。\frac{de_{1}}{ds} (s) = 0 の時は、 κ(s) = 0 と定め、 e_{2}(s) は定めない (定められない)。

以下では\frac{de_{1}}{ds} (s) ≠ 0 (∀s) を仮定する。すると上のようにして e_{1}(s), e_{2}(s), κ(s) が決まるので、 e_{3}(s) を (e_{1}(s), e_{2}(s), e_{3}(s)) が正規直交基底になるように決める。つまり e_{3}(s) = e_{1}(s) × e_{2}(s) ととる。ここで、更に計算すると、

\frac{de_{2}}{ds} (s) = −κ(s)e_{1}(s) + τ(s)e_{3}(s),
\frac{de_{3}}{ds} (s) = −τ(s)e_{2}(s)

となる滑らかな関数 τ(s) が存在することがわかる。この τ(s) を捩率といい、また、これらの式と * をあわせて Frenet-Serret の公式という。

問題１．次の問いに答えよ。

1) v = (a_{1}, a_{2}, a_{3}), w = (b_{1}, b_{2}, b_{3}) のときに、 v × w を a_{1}, a_{2}, a_{3}, b_{1}, b_{2}, b_{3} を

用いて成分で表せ。ただし、 ℝ^{3} のベクトル v, w に対して、 v × w は i) v と w が張る平行四辺形の面積を長さとして、 ii) v と w の両方と直交し、

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iii) (u, v, w) が負の向きにはならない、つまり u = (c_{1}, c_{2}, c_{3}) としたとき、

det ( \begin{matrix}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix} ) ≥ 0

となるような唯一のベクトル u として決める。

2) 任意の空間ベクトル v, w について、 w × v = −v × w を示せ。

3) 任意の空間ベクトル u, v, w, x に対して、

(u × v) · (w · x) = (u · w)(v · x) − (u · x)(v · w)

を示し、 |v × w|^{2} を、 v, w の内積と長さを使い、成分を用いずに表せ。

4) 1) での × の定義において、 u は「唯一」であると認めてしまったが、これを確かめよ。

問題２．ベクトル v_{1}, v_{2} を

v_{1} = (− sin s, cos s, 1)
v_{2} = (− cos s, − sin s, 0)

で定める。このとき、 v_{3} = v_{1} × v_{2} を求め、 v_{3} = (a, b, c) と成分で書いて

A = ( \begin{matrix}− sin s & cos s & 1 \\ − cos s & − sin s & 0 \\ a & b & c \end{matrix} )

と置き (A は v_{1}, v_{2}, v_{3} を並べたものであることに注意せよ)、 A^{t}A、^{t}AA を求めよ。また、 |v_{1}| = \sqrt{v_{1} · v_{1}}, |v_{2}|, |v_{3}| を求めよ。

問題３．次の問に答えよ。以下では a, b, c は定数とする。

1) ℝ^{3} 内の曲線 γ(t) = (a cos t, a sin t, bt), t ∈ ℝ, a > 0、の曲率と (定義できれば) 捩率を求めよ。

2) ℝ^{3} 内の曲線 γ(t) = (0, a cos t, b sin t), t ∈ ℝ, a > 0, b > 0、の曲率と (定義できれば) 捩率を求めよ。

3)^{∗} ℝ^{3} 内の曲線 γ(t) = (t, t^{2}, t^{3}), t ∈ ℝ の曲率と (定義できれば) 捩率を求めよ。 4) ℝ^{3} 内の曲線 γ(t) = (at, bt, ct), (a, b, c) ≠ (0, 0, 0) の曲率と (定義できれば)

捩率を求めよ。ヒント：定義に戻って計算するために、 γ の径数を孤長に関するものに直さないといけないように思えるが、実は\frac{dt}{ds} が求まれば曲率などは計算可能である。