１９９８年度幾何学Ａ演習（第５回） ’98/5/20 15:00 〜 17:15

ℝ^{2} に普通に座標を入れ、 x-y 平面とみなす。以下では、 γ : ℝ → ℝ^{2} を ℝ^{2} の曲線とするときに、径数に関する微分を γ̇ のように表す。

今、 γ を孤長 s で径数付けられた ℝ^{2} の曲線とする。 γ に特異点がない時、つまり γ の微分が (ベクトルとして) ゼロになることがない時、点 γ(s_{0}) における γ の曲率 κ(s_{0}) を

(∗)  (γ̈_{1}(s_{0}), γ̈_{2}(s_{0})) = κ(s_{0}) (−γ̇_{2}(s_{0}), γ̇_{1}(s_{0}))

なる実数として定めたのであった。ここで、 γ(s) = (γ_{1}(s), γ_{2}(s)) とする。

問題１．

1)^{∘} 今、 γ は孤長で径数づけられているとしているから、 γ 上の各点 γ(s_{0}) での

γ の接ベクトルの大きさは 1 に等しい。このことを式で書き下せ。

2) 上の等式 (∗) の両辺のベクトルと、ベクトル (−γ̇_{2}(s_{0}), γ̇_{1}(s_{0})) の内積をそれぞれとり、更に 1) の結果を用いることにより、等式

κ(s_{0}) = −γ̇_{2}(s_{0})γ̈_{1}(s_{0}) + γ̇_{1}(s_{0})γ̈_{2}(s_{0})

を示せ。一般には γ が必ずしも孤長により径数づけられてはいない。この時には講義で示されたように、

κ(t) = \frac{−γ̇_{2}(t)γ̈_{1}(t) + γ̇_{1}(t)γ̈_{2}(t)}{(γ̇_{1}(t)^{2} + γ̇_{2}(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}

が成り立つ。

以下では閉曲線のみを考える。代表的な閉曲線として、例えば γ(s) = (cos s, sin s), (0 ≤ s ≤ 2π) で与えられる (正の向きがついた) 単位円周が挙げられる。この円周はいかにも「１回転」しているようにみえる。勿論向きは (この向きを正の向きとしているのだから) 正の向きである。これを数学的に厳密に考えるためには次のように定義する。

定義２． γ を (区分的に滑らかな) 閉曲線とし、 s を孤長に関するパラメータとして、

m(γ) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{T} κ(s)ds

と定める。ここで T (> 0) は γ の周期とする。

この定義の詳しい説明は教科書に譲り、ここではおおよその意味を述べる。 γ の「回転」を調べようとする時、実は γ 自身ではなくその微分 γ̇ を考えていることが

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わかる。今は γ は孤長 s で径数付けられているとしているので、 γ̇ は単位円周上の点を表すとみなすことが出来る。 γ̇ が s が周期分だけ動いた時にどれほど単位円周上を動いたかということを符号付きで数えたものが回転数である。ここで、単位円周を正の向きに１回転するということは以前のようにして定めておく。

注意３．回転数は滑らかで特異点のない閉曲線については必ず整数値をとる。また、区分的に滑らかな曲線を考えた時には上の積分は滑らかでない点は無視して考える。

問題４．次の閉曲線の概形を描き、回転数を求めよ。 1) γ(s) = (cos s, sin s), 0 ≤ s ≤ 2π

2) γ(t) = \{ \begin{matrix}(cos πt, sin πt) & 0 ≤ t ≤ 1 \\ (t − 2, 0) & 1 ≤ t ≤ 3 \end{matrix}

3) γ(t) = \{ \begin{matrix}(cos πt, sin πt) & 0 ≤ t ≤ \frac{3}{2} \\ (t − \frac{3}{2}, −1) & \frac{3}{2} ≤ t ≤ \frac{5}{2} \\ (cos π(t − 1) + 1, sin π(t − 1)) & \frac{5}{2} ≤ t ≤ 3 \\ (2 cos π(t − 1), 2 sin π(t − 1)) & 3 ≤ t ≤ \frac{9}{2} \\ (cos π(t − 3), sin π(t − 3) − 1) & \frac{9}{2} ≤ t ≤ 5 \\ (1, t − 6) & 5 ≤ t ≤ 6 \end{matrix}

4) γ(t) = (4 cos t, −3 sin t), 0 ≤ t ≤ 2π

問題５． γ^{∨}(t) = γ(−t) とした時、 m(γ^{∨}) = −m(γ) を示せ。

さて、今 γ が必ずしも孤長でない径数 (パラメータ) t で径数づけられていないとする。このときもやはり s を γ の孤長に関するパラメータとして、定義２のようにして回転数は定義できるが、 κ(s) は t を用いて既に書けていた。一方\frac{ds}{dt} = (γ̇_{1}^{2} + γ̇_{2}^{2})^{\frac{1}{2}}

(ここで、 γ̇_{i} = \frac{dγ_{i}}{dt}, i = 1, 2 ) であるから、これらをあわせて

m(γ) =\frac{1}{2π} ∫_{0}^{L} κ(s)ds
=\frac{1}{2π} ∫_{0}^{T} \frac{−γ̇_{2}(t)γ̈_{1}(t) + γ̇_{1}(t)γ̈_{2}(t)}{γ̇_{1}(t)^{2} + γ̇_{2}(t)^{2}}dt

がなりたつ。ただし、 L は s に関する周期、 T は t に関する周期である。

問題６． 1) 上の等式を示せ。

2) dθ = \frac{−ydx + xdy}{x^{2} + y^{2}} と定めたとき、 m(γ) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{T} γ̇^{∗}(dθ) であることを示せ。

注意７．

1) 問題５ 2) の式は、回転数が単位円周上での等式\frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} dθ = 1 を γ̇ で「引き戻して」得られる数であることを示唆している。また、実はこの式は上に述べた回転数のおおよその説明を式で書き表したものになっている。

2) しばしば閉曲線をわざと２周以上することを考えることがある。例えば曲線 (cos s, sin s) で 0 ≤ s ≤ 4π などとしたりする。このような時には曲線の回転数は曲線の周期ではなくその何倍かで考えることが多い (時と場合による)。今の場合には回転数は 2 になる。

回転数はその意味から考えると、閉曲線を少し変形しても変わらないことが予想される。例えば、単位円周の代わりに ξ(s) = ((1 + ϵ) cos s, (1 + ϵ) sin s) などを考えても、 ϵ の絶対値が小さければその回転数は 1 のままである。

問題８．この直感的な事実を次に従って示せ。

1) ω を ℝ^{2} の開集合 O で定義された閉形式、 f : U → O を U から O への滑らかな写像とする。ここで U は ℝ の開集合であるとする。今 ω を閉形式であるとする時、 f による ω の引き戻し f^{∗}ω は再び閉形式になることを示せ。

2) ℝ^{2} 内の２つの閉曲線 γ, ξ が (向きを込めて) ある領域 Ω の境界 ∂Ω であったとする。前回認めた Stokes の定理を使い、\frac{1}{2π} ∫_{∂Ω} γ̇^{∗}(dθ) = 0 であることを示せ。ヒント：まず dθ が閉形式であることを示し、 1) を用いる。

3) \frac{1}{2π} ∫_{∂Ω} γ̇^{∗}(dθ) = m(γ) + m(ξ) を示せ。

さて、 γ, ξ を閉曲線として、更に γ と ξ を向きを無視すれば境界とするような領域 Ω が存在すると仮定する。今 ξ は γ を少し変形させたものとして考えたいので、向きは γ と (大体) 同じ向きについていると考える。一方、 Ω の境界の向きの付け方から、一方の境界 (γ とする) は向きを込めて境界になっていて、もう一方 (ξ とする) は向きが逆になって境界になっている筈である。すると、 Ω の境界は向きを込めて考えると γ と ξ^{∨} になっているから、 3) より

m(γ) + m(ξ^{∨}) = 0

が成り立つ。 m(ξ^{∨}) = −m(ξ) だったから結局 m(γ) = m(ξ) が従う。

4) 上に挙げた

γ(s) = (cos s, sin s) (0 ≤ s ≤ 2π)
ξ(s) = ((1 + ϵ) cos s, (1 + ϵ) sin s) (0 ≤ s ≤ 2π)

の場合にうまく Ω を見つけて m(γ) = m(ξ) を示せ (もちろん直接計算すれば今の場合は容易に両辺が 1 になることはわかる)。