１９９８年度幾何学Ａ演習（第４回） ’98/5/13 15:00〜17:15

ℝ^{2} に普通に座標を入れ、 x-y 平面とみなし、これにあわせて記号 dx, dy を考える（勿論本当は dx, dy 等は無意味な記号ではない）。

定義１． dx, dy の間の外積と呼ばれ、 ∧ で表される演算を

dx ∧ dy = −dy ∧ dx
dx ∧ dx = dy ∧ dy = 0

で定める。

定義２． O を ℝ^{2} の開集合とする。 1) O 上の滑らかな関数を O 上の滑らかな 0 次微分形式と呼ぶ。

2) fdx + gdy の形をした記号を O 上の滑らかな 1 次微分形式と呼ぶ。ここで、 f, g は O 上の滑らかな関数とする。

3) hdx ∧ dy（ = h(−dy ∧ dx)）の形をした記号を O 上の滑らかな 2 次微分形式と呼ぶ。ここで h は O 上の滑らかな関数とする。

4) 0 は特別に 0-形式とも、 1-形式とも、そして 2-形式であるとも考える。微分形式の和や差については自然な方法で決める。例えば

fdx + gdx = (f + g)dx

と定める。

注意３．以下では微分形式は滑らかなものしか考えないので、滑らかな p 次微分形式のことを単に p 次微分形式という (p = 0, 1, 2)。更に、 p 次微分形式のことを単に p-形式と呼ぶ事もある。

定義４．定義１の外積を以下の規則で拡張する： 1) 0-形式（＝関数） f, g に対して、 f ∧ g = fg (普通の積) とおく。

2) 0-形式 f と 1-形式 dx に対して f ∧ dx = dx ∧ f であるとし、これを fdx とも (dx)f とも書く。 1-形式 dy に対しても同様。

3) 外積は分配的でかつ結合的とする。つまり、任意の微分形式 ω_{i}, i = 1, 2, 3 に対して

(ω_{1} + ω_{2}) ∧ ω_{3} = ω_{1} ∧ ω_{3} + ω_{2} ∧ ω_{3}
ω_{1} ∧ (ω_{2} + ω_{3}) = ω_{1} ∧ ω_{2} + ω_{1} ∧ ω_{3}

と

(ω_{1} ∧ ω_{2}) ∧ ω_{3} = ω_{1} ∧ (ω_{2} ∧ ω_{3})

が成り立つ。

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注意４． p-形式と q-形式との外積は p + q 形式である。また、 p-形式同士の和や差は再び p-形式である（各自確認する事）。

注意５．全ての微分形式に対してその次数が上の方法で決まる訳ではない。例えば f + dx は f を関数とすると微分形式であるが、その次数はここでは定義しない。

定義６．微分形式に対し外微分といわれる操作を次で定める。

1) 0-形式 f に対して df = \frac{∂f}{∂x} dx + \frac{∂f}{∂y} dy と定める。
2) 1-形式 ω = fdx + gdy に対して dω = df ∧ dx + dg ∧ dy と定める。
3) 2-形式 η = hdx ∧ dy に対して dη = dh ∧ dx ∧ dy と定める。

問題７． ℝ^{2} 上の微分形式について次を示せ。

1) 1-形式 ω = fdx + gdy に対して dω = (−\frac{∂f}{∂y} + \frac{∂g}{∂x}) dx ∧ dy を示せ。

2) 2-形式 η に対して dη = 0 を示せ。

3) f, g を 0-形式とするとき df ∧ dg を dx, dy を用いて表せ。

4) 0-形式 f に対して d(df) = 0 を示せ。

問題８． ℝ^{2} 上の微分形式について次の問いに答えよ。

1) ( \begin{matrix}u \\ v \end{matrix} ) = A ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} )、ただし A = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} ) の時、 du ∧ dv を dx, dy を用い

て表せ。

2) (x, y) = (r cos θ, r sin θ) とする時、 dx, dy, dx ∧ dy を dr, dθ で表せ。

3) (u, v) = f(x, y) = (f_{1}(x, y), f_{2}(x, y)) とする。この時、 du ∧ dv を dx, dy で

表せ。今までは ℝ^{2} の微分形式だけを考えたが、 ℝ^{3} の微分形式も考える事にする。 ℝ^{3} を

x-y-z 空間と考えて、 ℝ^{2} の時と同様に dx, dy, dz を考え、外積も同様に定義する。

問題９．

1) ω_{1} = a_{1}dx + a_{2}dy + a_{3}dz, ω_{2} = b_{1}dx + b_{2}dy + b_{3}dz と置き、 ω_{3} = ω_{1} ∧ ω_{2} を求めよ。

2) 1-形式 ω_{1}, ω_{2} に対して d(ω_{1} ∧ ω_{2}) = (dω_{1}) ∧ ω_{2} − ω_{1} ∧ (dω_{2}) を示せ。

事実１０．一般に p-形式 ω と q-形式 η に対して

d(ω ∧ η) = (dω) ∧ η + (−1)^{p}ω ∧ (dη)

が成り立つ（q の値にはよらない）。定義１１． γ を ℝ^{3} の向き付けられた閉曲線、 ω を ℝ^{3} の γ を含む開集合で定義された 1-形式とする。この時 ∫_{γ} ω を次のように定める。

まず、 γ を (x, y, z) = p(t) = (p_{1}(t), p_{2}(t), p_{3}(t)) と径数付ける。このとき t が孤長である必要はないが、 t が増える時に、対応する点は γ の向きに沿って動くようにとる。今、 ω = f_{1}(x, y, z)dx + f_{2}(x, y, z)dy + f_{3}(x, y, z)dz と表しておき、 ℝ 上の微分形式 p^{∗}ω を

p^{∗}ω = f_{1} ∘ p(t)dp_{1} + f_{2} ∘ p(t)dp_{2} + f_{3} ∘ p(t)dp_{3}

と定義する (これを p による ω の引き戻しという)。すると、 p^{∗}ω は g(t)dt という形に書けるので、 a ≤ t ≤ b で点 p(t) が γ を一周するとした時、

∫_{γ} ω = ∫_{a}^{b} p^{∗}ω = ∫_{a}^{b} g(t)dt

と定める。 ℝ^{2} の閉曲線、 1-形式についても座標が一つ減るほかはまったく同様に ∫_{γ} ω

を定める。

すると ∫_{γ} ω はとりあえず曲線の径数付けによるように見えるが、実はこれは径数

付けにはよらない。しかし、 γ の向きを逆にした閉曲線 γ′ を考えると先週出題したように積分の値は変わる。

問題１２． ∫_{γ} ω が (向きを込めた) γ の径数づけによらないことを示せ。

定義１３． ℝ^{2} を x-y 平面と再び見る。このとき 2-形式 fdx ∧ dy の積分を

∫ fdx ∧ dy = ∫ fdxdy

で定める。

注意１４．問題８からも分かるように、例えば座標を取り替えたりすれば dx ∧ dy はいろいろな式で表現されるが微積分の時にやった（であろう）変数変換の公式と比べると、上の定義は矛盾がない (well-defined) ことがわかる。

問題１５．次の積分を求めよ。但し、 1), 2) において円周は正の向きに向きをつける。

1) ∫_{x^{2}+y^{2}=1} (xdy − ydx)
2) ∫_{x^{2}+y^{2}=1} (xdy + ydx)
3) ∫_{x^{2}+y^{2}≤1} \sqrt{1 − x^{2} − y^{2}}dx ∧ dy

定義１１で「引き戻し」といわれる微分形式が現れたが、これは一般に次のように定義される。

定義１６． ω を ℝ^{n} の開集合 O 上の p-形式、 U を ℝ^{m} の開集合、 f : U → O を滑らかな写像とする (今考えている範囲では、 m や n は 1, 2 または 3 のいずれかだが、実際には任意の正整数でよい）。このとき、 ω の f による引き戻し (pull-back) と呼ばれる U 上の p-形式 f^{∗}ω を次のように定める。簡潔に書くため、 p = 2, n = 3, m = 2 として記すが、ほかの場合も同様である。

最初に ω が定義されていた O のある ℝ^{3} の座標を (x, y, z) とする。この時 ω は

ω = g_{1}(x, y, z)dy ∧ dz + g_{2}(x, y, z)dz ∧ dx + g_{3}(x, y, z)dx ∧ dy

と書ける。今、 U のある ℝ^{2} の方の座標を (u, v) で表す事にすると、 f : U → O は座標を使って f(u, v) = (f_{1}(u, v), f_{2}(u, v), f_{3}(u, v)) と書けるので、

f^{∗}ω = (g_{1} ∘ f)df_{2} ∧ df_{3} + (g_{2} ∘ f)df_{3} ∧ df_{1} + (g_{3} ∘ f)df_{1} ∧ df_{2}

と定める。もちろん g_{i}∘f や、 df_{j} は u, v に依存するので本来 (g_{i}∘f)(u, v) や df_{j}(u, v) と書くべきであるが、今の場合これらは (u, v) に依り、ほかの変数には依らない事はあきらかなので省略した。

問題１７． ℝ^{m} 上の微分形式 ω と ℝ^{n} から ℝ^{m} への滑らかな写像について d(f^{∗}ω) = f^{∗}(dω) が成り立つことを示せ。とりあえず n ≤ 3、 m = 3 として示せば良いが、可能であれば一般の n,m について示せ。

定義１８．

1) 微分形式 ω が閉形式 (closed form) であるとは、 dω = 0 が成り立つことを言う。

2) 微分形式 ω が完全形式 (exact form) であるとは、ある微分形式 η が存在し、 dη = ω が成り立つことをいう。

問題１９． ℝ^{3} 上の微分形式について完全形式は閉形式であることを示せ。可能であれば一般の ℝ^{n} 上の微分形式についても示せ。

以下では、次の定理およびその応用について扱う。

定理２０． (特別な場合の Poincaré の補題) O を ℝ^{2} の単連結な (穴のあいていない) 開集合とする。この時 O 上の閉形式はすべて完全形式である。

定義２１． ℝ^{n} (n = 2, 3) の閉集合 K 上の微分形式とは、 K を含むある開集合で定義された微分形式のことを言う。定理２２． (特別な場合の Stokes の定理) Ω を ℝ^{2} 境界が (区分的に) 滑らかな閉曲線であるような有界閉集合とする。このとき、 ω を Ω で定義された微分形式とすると

∫_{Ω} dω = ∫_{∂Ω} ι^{∗}ω

が成り立つ。ここで、 ι は自然な埋め込み ∂Ω → Ω を表し、 ∂Ω には Ω から「自然に」向きを入れる。また ∫_{ϕ} ω = 0 と考える。

注意２３．例えば単位閉円板\overline{D} = \{(x, y) | x^{2} + y^{2} ≤ 1\} の境界は単位円周であるが、これにはいる「自然な」向きは反時計周りである。

問題２４． ℝ^{2} 上の閉 1-形式 ω = fdx+gdy と単位開円板 D = {(x, y) | x^{2}+y^{2} < 1} について、 Poincaré の補題を次に従って示せ。

1) D の任意の点 p について、原点 o と p を D 内で結ぶ滑らかな曲線 γ を一つ選び、 ∫_{γ} ω を考えると、これは γ の取り方によらないことを Stokes の定理と、

ω が閉形式であることを用いて示せ (ただし、曲線は常に γ(0) = o, γ(1) = p なるように選ぶ)。

2) 1) から ∫_{γ} ω は p を固定すると γ の選び方によらないので、これを η(p) と

書く。 γ をうまく選ぶことにより、\frac{∂η}{∂x}, \frac{∂η}{∂y} は共に滑らかな関数で、実はそれぞれ f, g に等しいことを示せ。

3) 2) より η は滑らかな関数になるが、この η が dη = ω を満たすことを示せ。

問題２５．次の微分形式 ω_{i} は完全形式であるか、そうであれば dη_{i} = ω_{i} なる微分形式を一つ与えよ。そうでなければ、完全形式でない理由を述べよ (注意：定義域を変えてはいけない)。

1) ℝ^{3} 上の微分形式 ω_{1} = dx + dy + dz

2) S^{1} 上の微分形式 ω_{2} = xdy − ydx

3) ℝ^{2} 上の微分形式 ω_{2} = xdy − ydx

4) ℝ^{2} 上の微分形式 ω_{3} = xdy + ydx

5) ℝ^{2} \ \{0\} 上の微分形式 ω_{4} = \frac{−ydx + xdy}{x^{2} + y^{2}}

注意２６．ここまでの定理や定義は ℝ^{2} や ℝ^{3} (の開集合) について述べているが、語句を適当に修正すれば一般の ℝ^{n} の場合について成り立つ。