１９９８年度幾何学Ａ演習（第３回） ’98/5/6 15:00〜17:15

∘ ： (多分) 易しい (が、説明するのは難しいこともある)。

∗ ： (多分) やや難しい (が、しばしば大事)。特に断らない限り関数はすべて C^{∞} 級 (滑らかという) であるとする。

問題１^{∘}． (微分形式の復習) (x, y) で ℝ^{2} の通常の座標を表す。

1) ω_{i} = f_{i}dx + g_{i}dy, i = 1, 2 とする時、 ω_{1} ∧ ω_{2} を求めよ。ここで、 f, g は x, y の滑らかな関数である。

2) dω_{1} を求め、 dω_{1} = 0 となるのはいつか調べよ。

3) ζ = xdx とすると dζ = 0 であることを示し、さらに、 x, y の関数 h = h(x, y) で dh = ζ を満たすものを一つ求めよ。

4) h を ℝ^{2} から ℝ^{2} への滑らかな写像とする時、 h^{∗}ω_{1} を求めよ。

定義２． ℝ の座標を t で表すこととし、まず ℝ 上の 1-形式 ω = fdt の積分を

∫ ω = ∫ fdt

で定める。特に区間 [a, b], a ≤ b を指定した場合には

∫_{[a,b]} ω = ∫_{a}^{b} fdt

である。

ここで、 ω = fdx + gdy を ℝ^{2} 上の微分形式、 γ を ℝ^{2} 内の (区分的に) 滑らかな曲線とする。ここでは簡単のために γ は ℝ 上で定義されているとする。つまり、 γ は ℝ から ℝ^{2} への (有限個の点を除いて) 滑らかな関数 (写像) である。このとき、 γ 上での ω の積分を

∫_{γ} ω = ∫ γ^{∗}ω

で定める。 γ で表される曲線の一部 γ′ = γ|_{[a,b]} を考えた場合には、

∫_{γ′} ω = ∫_{a}^{b} γ^{∗}ω

となる。

問題３．次の γ : [a, b] → ℝ^{2}, ω について、積分 ∫_{γ} ω を求めよ。

1)^{∘} γ(t) = (t, t), −1 ≤ t ≤ 1, ω = dx

2) γ(t) = (cos t, sin t), 0 ≤ t ≤ π, ω = dx, γ(t) = (cos t, − sin t), 0 ≤ t ≤ π, ω = dx、両者の結果を比べてみよ。

3) γ(t) = (cos t, sin t), 0 ≤ t ≤ π, ω = dy, γ(t) = (−t, 0), −1 ≤ t ≤ 1, ω = dy、両者の結果を比べてみよ。

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問題４． γ : [0, 1] → ℝ^{2} を ℝ^{2} 内の曲線、 ω を ℝ^{2} 上の 1-形式とする。

1) ℝ^{2} の曲線 γ^{∨} を、 γ^{∨}(t) = γ(1 − t) で定める時、 ∫_{γ^{∨}} ω = − ∫_{γ} ω が成り立つ

ことを示せ。

2) γ_{1}, γ_{2} : [0, 1] → ℝ^{2} をそれぞれ ℝ^{2} 内の曲線とし、 γ_{1}(1) = γ_{2}(0) であるとする。区分的に滑らかな曲線 γ_{2} ∗ γ_{1} : [0, 1] → ℝ^{2} を

γ_{2} ∗ γ_{1}(t) = \{ \begin{matrix}γ_{1}(2t) & 0 ≤ t ≤ \frac{1}{2} \\ γ_{2}(2t − 1) & \frac{1}{2} ≤ t ≤ 1 \end{matrix}

で定める。このとき、 ∫_{γ_{2}∗γ_{1}} ω = ∫_{γ_{1}} ω + ∫_{γ_{2}} ω が成り立つことを示せ。

問題５． (r, θ) を ℝ^{2} \ {o} の極座標とする。ただし、 o は原点とする。また、 (x, y) を ℝ^{2} の通常の座標とする。

1) (x, y) = (r cos θ, r sin θ) に注意して、

dθ = \frac{−ydx + xdy}{x^{2} + y^{2}}

を示せ。

2) γ(t) = (cos t, sin t), 0 ≤ t ≤ π, ω = dθ として ∫_{γ} ω を求めよ。

また、 γ(t) = (cos t, − sin t), 0 ≤ t ≤ π, ω = dθ として ∫_{γ} ω を求めよ。

注意６． dθ は文字どおり関数 θ を外微分したものと思うことも可能であるが、 θ は ℝ^{2} \ \{o\} 上の関数では\underline{ない}(なぜか考えてみよ)。従って dθ という表記は (うまく正当化しないと) 適切ではないが、ここではこれ以上触れない。

定理７． (Green) D を境界が滑らかな閉曲線であるような閉領域、 ω を D 上で定義された 1-形式とする。このとき

∫_{∂D} ω = ∫_{D} dω

が成り立つ。但し、右辺の積分は次のように定める。即ち、 dω = fdx ∧ dy と表しておいて、 ∫_{D} dω = ∫_{D} fdxdy と定める。

問題８． D を境界が滑らかな閉曲線であるような閉領域、 ω を D 上で定義された 1-形式とする。

1)^{∘} ω が閉形式、即ち dω = 0 が成り立っている時、 ∫_{∂D} ω = 0 を示せ。 2)^{∗} 1) を用いて問題３の 2),3) の結果を説明せよ。また、問題４の 2) の結果に

ついて説明せよ。

ヒント： γ_{1}, γ_{2} を始点と終点を共有する２つの曲線とするとき、 γ_{2}^{∨} ∗ γ_{1} は閉曲線である。