１９９８年度幾何学Ａ演習（第２回） ’98/4/22 15:00〜17:15 特に断らない限り関数はすべて C^{∞} 級 (滑らかという) であるとする。

問題１．次で表される曲線の概形を描き、 (x(t_{0}), y(t_{0})) における接線を求めよ。ただし、 t_{0} は任意に固定した実数とする。

1) (x(t), y(t)) = (a cos t, b sin t),

2) (x(t), y(t)) = (cosh t, sinh t),
3) (x(t), y(t)) = (at, bt),
4) (x(t), y(t)) = (t cos t, t sin t).

いずれの場合にも a, b は実定数とする。また、 cosh t = \frac{e^{t} + e^{−t}}{2} , sinh t = \frac{e^{t} − e^{−t}}{2} である。

問題２．次の各曲線について、曲線 {(x(t), y(t)) ; t_{0} ≤ t ≤ t_{1}} の長さを積分を用いて表せ (公式を忘れた場合は自前で考えるか問題９を見よ)。もし積分が (初等的に) 計算可能であれば計算せよ。

1) (x(t), y(t)) = (a sec t, b tan t),

2) (x(t), y(t)) = (a cos t, b sin t),
3) (x(t), y(t)) = (a cosh t, b sinh t),
4) (x(t), y(t)) = (t cos t, t sin t).

ただし、 2) については a = b の時には易しいので長さはきちんと計算し、「当たり前」の値になることを確かめよ。

ここまでは\frac{d}{dt}(x(t), y(t)) = (\frac{dx}{dt}(t), \frac{dy}{dt} (t)) がゼロベクトルにはならない場合のみを扱ってきたが、一般には勿論そうではない。このような点を特異点という。

問題３．次の曲線の概形を描き、特異点を求めよ。 1) (x(t), y(t)) = (t^{2}, t^{3}),

2) (x(t), y(t)) = (cos t, sin^{2} t),
3) (x(t), y(t)) = (t^{3}, t^{3}).

注意４．一つの曲線についてそのパラメーター表示は複数考えられる。問題３ 3) にもあるように、パラメーター表示のしかたによって特異点が生じたり生じなかったりてしまう場合もある。

定義５． (x(t), y(t)) で表される曲線 ℓ が次を満たす時、 ℓ は閉曲線であるという。即ち

1) x, y は全ての実数 t について定義されている。

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2) ある零でない実数 T が存在し、 (x(t + T), y(t + T)) = (x(t), y(t)) が全ての t について成り立つ。

注意６．上の定義だと ℓ が閉曲線であるかどうかはパラメーター表示の仕方に依存する。パラメーター表示の仕方に依っては困る場合には、「ℓ のパラメーター表示で、上の 1) 2) を満たすものが存在する時」 ℓ は閉曲線であるという (演習ではこちらは採用しない)。また、いずれの場合にも T は正に取れる。なぜか考えてみよ。

問題７． (x(t), y(t)) = (cos t, sin at) が (このパラメーター表示で) 閉曲線になるような実数 a の値を調べよ。

注意８． (x(t), y(t)) で表される曲線 ℓ が閉曲線である時、任意の零でない実数 a について (x(at), y(at)) は ℓ の (一般には異なる) パラメーター表示を与える。

問題９．曲線 ℓ が (x(t), y(t)) で与えられたとする。このとき、 ℓ の t_{0} ≤ t ≤ t_{1} の部分の長さ L(ℓ)[t_{0}, t_{1}] (この記号は一般的なものではない) は

L(ℓ)[t_{0}, t_{1}] = ∫_{t_{0}}^{t_{1}} \sqrt{ẋ(t)^{2} + ẏ(t)^{2}}dt

と表された。ただし、 ẋ = \frac{dx}{dt}, ẏ = \frac{dy}{dt} である。ここで t_{0} を固定し、 ℓ の (x(t_{0}), y(t_{0})) を基点とした符号付きの長さ L(ℓ) を考えることにする。つまり、

L(ℓ)(t) = ∫_{t_{0}}^{t} \sqrt{ẋ(r)^{2} + ẏ(r)^{2}}dr

とおく (便宜上積分変数を r に変えた)。

1) L(ℓ)(t) は t について C^{1} 級であることを示せ。 ℓ が特異点を持たない時には更に C^{∞} 級であることを示せ。

2) ℓ が特異点を持たないとする。このとき、\frac{dL(ℓ)}{dt} を x, y を用いて表し、更に

それが決して 0 にならないことを示せ。すると逆関数定理から、 ℓ に特異点がなければ L(ℓ) は滑らかな逆関数 u(s) を持つ。つまり、ある C^{∞} 級関数 u が存在し、 L ∘ u(s) = s, s ∘ L(t) = t が成り立つ。

3) (x ∘ u(s), y ∘ u(s)) は ℓ の (x(t_{0}), y(t_{0})) を基点とした符号付きの孤長をパラメーターとする表示となることを確かめよ。

4) \frac{du}{ds} を x, y を用いて表せ。但し変数は t のままで良い。

注意１０．

1) 「(x(t_{0}), y(t_{0})) を基点とした符号付きの」という部分は明らかなので断らないことが多い。 2) 関数 L は通常初等的には求積できないので、 L や s はきれいには書けない。

しかし、問題９ 4) を解けば分かるように、 L や s の微分は変数 t に関してはきれいに書ける。

定義１１．曲線 ℓ が孤長でパラメーターづけられているとする。この時の ℓ のパラメーター表示を (x(s), y(s)) とするとき、 ℓ の (x(s_{0}), y(s_{0})) での曲率 κ(s_{0}) は

(\frac{d^{2}x}{ds^{2}}(s_{0}), \frac{d^{2}y}{ds^{2}} (s_{0})) = κ(s_{0}) (−\frac{dy}{ds} (s_{0}), \frac{dx}{ds}(s_{0}))

なる実数として定める。これからも分かるように、特異点がある曲線の、特異点での曲率は一般には定義されない。

問題１２．定義１１の記号をそのまま使う。 1) κ(s_{0}) ≠ 0 とする時、半径 r(s_{0}) = \frac{1}{κ(s_{0})}, 中心

p(s_{0}) = (x(s_{0}) − r(s_{0})\frac{dy}{ds} (s_{0}), y(s_{0}) + r(s_{0})\frac{dx}{ds}(s_{0}))

の円 C は (x(s_{0}), y(s_{0})) で ℓ に接することを示せ。この r のことを曲率半径、 p のことを曲率中心という。また、円 C のことを曲率円という。

2) 1) において、さらに C を孤長に関して (X(s), Y (s)) とパラメーター表示した時には接点において X, Y の２階微分と x, y の２階微分が一致していることを示せ。

3) ℓ のパラメーター表示 (x(t), y(t)) が必ずしも孤長に関するものでない時に、曲率を x, y で表せ。ただし ℓ は特異点を持たないとする。

4) (x(t), y(t)) = (t, at^{2}) で表される放物線について、 κ(t), p(t) を求め、 p(t) の軌跡を図示せよ。

問題１３．曲線 ℓ が極座標によって (r(t), θ(t)) とパラメーターづけられている時に、 ℓ の曲率を求めよ。ヒント： ℓ を通常の座標で書けば (r(t) cos θ(t), r(t) sin θ(t)) である。