１９９７年度幾何学Ａ演習（第 15 回） ’97/7/23 15:00〜17:15

定義１．

1) Σ を ℝ^{3} 内の曲面とする。 ℝ^{3} にリーマン計量 g が入っている時、 Σ に g から誘導される計量とは、 ι^{∗}g のことを言う。ここで ι : Σ → ℝ^{3} は包含写像とする。

2) O を曲面片 Σ の開集合とする。 Σ にリーマン計量 g が入っている時、 O に g から誘導される計量とは ι^{∗}g のことを言う。ここで、 ι : O → Σ は包含写像とする。この場合には ι^{∗}g を g|_{O} とも書く。

注意１．実際には上の 1), 2) の場合以外にも、計量 g の入ったある集合 M の部分集合 S に計量が誘導されるという事があるが、それは通常は ι^{∗}g のことを言う。ここで ι は包含写像。

定義２． X, Y を計量 g, h がそれぞれはいった滑らかな曲面とする。滑らかな写像 f : X → Y が f^{∗}h = g を満たし、更に X の各点 x に対して、適当な近傍 U_{x} が存在して f の U_{x} への制限が U_{x} から f(U_{x}) への微分同相写像（滑らかな同相写像で、かつ逆写像も滑らか）の時、 X と Y は局所等長であるといい、このような f を局所等長写像という。

定義２． (Christoffel’s Symbol) ℝ^{2} の開集合 O のリーマン計量 g が

g = g_{11}dx_{1} · dx_{1} + (g_{12} + g_{21})dx_{1} · dx_{2} + g_{22}dx_{2} · dx_{2}

で与えられているとする。ただし、 g_{12} = g_{21} とする。 ℝ^{2} を x_{1}-x_{2} 平面とみなせば、 g_{ij} は x_{1}, x_{2} の関数であるが、さらに g がリーマン計量ということから、行列

G = ( \begin{matrix}g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{matrix} ) は可逆である。そこで、 H = G^{−1} として成分で H = ( \begin{matrix}h^{11} & h^{12} \\ h^{21} & h^{22} \end{matrix} )

と表しておく。最後に関数 Γ_{ij}^{k}, i, j, k = 1, 2 を

Γ_{ij}^{k} = \frac{1}{2} ∑_{l=1}^{2} h^{kl} (\frac{∂g_{jl}}{∂x_{i}} + \frac{∂g_{il}}{∂x_{j}} − \frac{∂g_{ij}}{∂x_{l}} )

で定める（並べて書いてある文字は２つの添え字を表す。積ではない。また、肩に乗っている文字も添え字である。指数ではない）。このようにして定まる 2^{3} 個の関数を Christoffel’s Symbol という。

参考１．正確には上の記号 Γ_{ij}^{k} は Riemann 接続の Christoffel’s Symbol という。 Riemann 接続については触れないので、おまじないだと思っていればよい。

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定義３． p(t) = (p_{1}(t), p_{2}(t)) を ℝ^{2} の開集合 O 内の曲線とする。 O に計量 g が入っているとして Γ_{ij}^{k} を上のように定めた Christoffel’s Symbol とする。このとき

p が測地線であるとは、 Γ^{k} = ( \begin{matrix}Γ_{11}^{k} & Γ_{12}^{k} \\ Γ_{21}^{k} & Γ_{22}^{k} \end{matrix} ) とするとき、

\frac{d^{2}p_{k}}{dt^{2}} + ( \frac{dp_{1}}{dt} \frac{dp_{2}}{dt} ) Γ^{k} ( \frac{dp_{1}}{dt} ; \frac{dp_{2}}{dt} ) = 0

が k = 1, 2 に対して成り立つ事である。

定義４．一般の、リーマン計量 g が入った曲面片 Σ に対して、測地線は次のように定める。即ち、曲面片 Σ 上に曲線 p が与えられたとすると、 p の各点 x に対して、 ℝ^{2} の開集合 O_{z} と同相な x の近傍 U_{x} があるので、その同相を与える写像を φ_{x} : O_{x} → U_{x} とする。このとき O_{x} には U_{x} からリーマン計量 h_{x} = φ_{x}^{∗}(g|_{U_{x}}) が入る。一方 φ は同相写像であるから、 O_{x} の曲線 l_{x} = φ_{x}^{−1}(p|_{U_{x}}) が考えられる。このようにして得られた曲線 l_{x} 達が全ての p の点 x に対して O_{x} の h_{x} に関する測地線である時、 p を Σ の測地線であると定める。

リーマン計量にはいくつか同値な定義がある。ほかの定義はここでは教科書に譲る。以下の問に答える際には必ずしも上の定義を使わなくとも良い。

問題１．以下の問に答えよ。

1) ℝ^{2} に Euclid 計量を入れたとき、測地線は直線であることを示し、任意の２点を結ぶ測地線が存在するかどうか調べよ。

2) 上半平面 ℍ^{2} に Poincaré 計量 g = \frac{dx^{2} + dy^{2}}{y^{2}} = \frac{dzd\overline{z}}{(Im z)^{2}} をいれる。

i) ℍ^{2} の点 p_{0} = (0, 1) と p_{1} = (0, 2) を通る測地線をすべて求め、それぞれについてその長さを求めよ。

ii) ℍ^{2} の点 p_{2} = (x, y) が任意に与えられたとする。ただし p_{2} ≠ p_{0} とする。 PSL(2, ℝ) が ℍ^{2} に等長写像として作用していたことを思い出して、 γ(p_{0}) = p_{0} かつ γ(p_{1}) = p_{2} を満たす PSL(2, ℝ) の元 γ を求めよ。 iii) 等長写像は測地線を測地線に写すことを認めた上で、 (0, 1) を通る測地

線をすべて求めよ。

問題２． 1) ℝ^{2} の２点を結ぶ測地線は唯一で、かつ最短線であることを示せ。

2) S^{2} の２点を結ぶ測地線は必ずしも唯一でなく、また必ずしも最短線でない事を示せ。問題３．

1) 単位円板 𝔻 に Poincaré 計量を入れたものの測地線を求めよ。

2) ψ : 𝔻 → ℍ を

ψ(z) = \sqrt{−1}\frac{1 − z}{1 + z}

で定めたとき、これは 𝔻 の測地線を ℍ の測地線に写す事を示せ。

3) ℝ^{2} \ {0} に Euclid 計量から誘導される計量を入れる。この時測地線は直線である事を示せ。更に任意の２点を結ぶ測地線が存在するかどうか調べよ。

4) ℝ^{2} \ {0} = ℂ \ {0} に計量 g を

g = \frac{1}{x^{2} + y^{2}} (dx^{2} + dy^{2}) = \frac{dzd\overline{z}}{z\overline{z}}

として入れる。この時測地線を求め、任意の２点を結ぶ測地線が存在するか調べよ。（ヒント：写像 exp : ℂ → ℂ \ {0}, exp(z) = e^{z} を考えてみよ。）

問題４．等長写像により測地線は測地線に写される事を示せ。また、局所等長写像ではどうか調べよ。