１９９７年度幾何学Ａ演習（第 13 回） ’97/7/9 15:00〜17:15

特に断らない限り曲面や曲線は滑らかとし、また ℝ^{3} には Euclid 計量が入っているとする。また、 ∥ · ∥ で ℝ^{3} の Euclid ノルムを表す。

定義１．（ℝ^{3} 内の曲面の測地線） Σ を ℝ^{3} 内の曲面とし、 l = l(s) を Σ 内の（従って ℝ^{3} 内の）曲線とする。ここで、 l は孤長 s で径数づけられているとする。このとき、以前やったように、 l の曲率 κ(s) が

κ(s) = ∥\frac{d^{2}l}{ds^{2}} (s)∥

と定義された。 l は Σ 内の曲線であるから、その接ベクトル\frac{dl}{ds}(s) は始点を l(s) と見れば Σ に

接する（以前やった Σ の接平面の定義を思い出す事）。しかし、一般には\frac{d^{2}l}{ds^{2}} (s) は、始点を l(s) としてももはや Σ には接しない。そこで、

\frac{d^{2}l}{ds^{2}} (s) = k_{g}(s) + k_{n}(s),

と\frac{d^{2}l}{ds^{2}} (s) を Σ に接するベクトルと、 Σ に垂直な、つまり ℝ^{3} の中の平面 T_{l(s)}Σ に垂直なベクトルの和として表す。 k_{g}(s) を測地的曲率ベクトル、 k_{n}(s) を法曲率ベクトルとそれぞれ呼ぶ。始点は l(s) にとる。ここで、 k_{g}(s) が恒等的にゼロベクトルになる時、 l は測地線であるという。言い換えれば、\frac{d^{2}l}{ds^{2}} (s) が常に曲面に垂直になる時に l を測地線という。

問題１． S^{2} を ℝ^{3} の単位球面とみなす。このとき、 S^{2} の大円は測地線である事を示せ。逆に測地線が大円であるかどうか調べよ。

定義２．（ℝ^{3} 内の曲面の Christoffel’s Symbol） U を ℝ^{2} の開集合として Σ を

Σ = {(x, y, z)| (x, y, z) = p(x_{1}, x_{2}), (x_{1}, x_{2}) ∈ U}

で定義された ℝ^{3} 内の曲面（片）とする。 e_{1}, e_{2} を

e_{1} = \frac{∂p}{∂x_{1}} , e_{2} = \frac{∂p}{∂x_{2}}

で定義されるベクトルとする。

e_{3} = \frac{e_{1} × e_{2}}{∥e_{1} × e_{2}∥}

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とおくと、 e_{1}, e_{2}, e_{3} は正の向きの ℝ^{3} の基底になる（仮定から e_{1} と e_{2} が１次独立な事に注意）から

\begin{matrix}e_{11} = \frac{∂e_{1}}{∂x_{1}} = \frac{∂^{2}p}{∂x_{1}^{2}} , & e_{12} = \frac{∂e_{1}}{∂x_{2}} = \frac{∂^{2}p}{∂x_{2}∂x_{1}} \\ e_{21} = \frac{∂e_{2}}{∂x_{1}} = \frac{∂^{2}p}{∂x_{1}∂x_{2}} , & e_{22} = \frac{∂e_{2}}{∂x_{2}} = \frac{∂^{2}p}{∂x_{2}^{2}} \end{matrix}

とベクトル達を定めると、ある関数 Γ_{ij}^{k}, f_{ij}, i, j, k = 1, 2 （i, j, k は全て添え字である。積や指数ではない）が存在し、

e_{ij} = Γ_{ij}^{1}e_{1} + Γ_{ij}^{2}e_{2} + f_{ij}e_{3}

が成り立つ（i, j = 1, 2）。この Γ_{ij}^{k} を Christoffel’s symbol という。

問題２． ℝ^{3} の単位球面 S^{2} に対して次の 1), 2) が同値であることを示せ（分からなければ S^{2} を上半球面 S_{+}^{2} = S^{2} ∩ {(x, y, z) ∈ ℝ^{3}| z > 0} に置き換えて解いてみよ。この時は S_{+}^{2} 自身が曲面片であることに注意せよ）。ただし、曲線は孤長で径数づけられているとする。

1) l = l(s) は S^{2} の測地線である。

2) l の各点 x に対して、 x を含む S^{2} の適当な開集合で、曲面片になっているもの U_{x} をとる。 U_{x} = {(x, y, z)| (x, y, z) = p(x_{1}, x_{2}), (x_{1}, x_{2}) ∈ O_{x}} （O_{x} は ℝ^{2} のある開集合）と書いた時、 l|_{U_{x}} = l ∩ U_{x} は適当な関数 u_{1}(s), u_{2}(s) と p を用いて、 l|_{U_{x}} = p(u_{1}(s), u_{2}(s)) と書けるが、このとき、

\frac{d^{2}u_{k}}{ds^{2}} + ( \frac{du_{1}}{ds} \frac{du_{2}}{ds} ) Γ^{k} ( \frac{du_{1}}{ds} ; \frac{du_{2}}{ds} ) = 0

が k = 1, 2 に対して成り立つ。ただし、 Γ^{k} は Γ^{k} = ( \begin{matrix}Γ_{11}^{k} & Γ_{12}^{k} \\ Γ_{21}^{k} & Γ_{22}^{k} \end{matrix} ) で定義さ

れる行列とする。

問題３． Σ を

Σ = {(x, y, z)| (x, y, z) = p(x_{1}, x_{2}), (x_{1}, x_{2}) ∈ U}

と表される ℝ^{3} 内の曲面とする。ここで U は ℝ^{2} の開集合。このとき問題２は S^{2} を Σ に置き換えても成り立つ事を示せ（当然 Christoffel’s symbol は S^{2} のものとは一般には異なる）。ヒント：曲線 l(s) = p(u_{1}(s), u_{2}(s)) に対して\frac{d^{2}l}{ds^{2}} = k_{g}(s) + k_{n}(s) であるが、 k_{n}(s) と e_{3} が平行な事に注意して（答案に書く時にはなぜ平行なのかきちんと説明する事） k_{g}(s) を Christoffel’s symbol を用いて書く。書ければ後は簡単（であるが、きちんと最後まで説明を付ける事）。