１９９７年度幾何学Ａ演習（第 11 回） ’97/6/25 15:00〜17:15 微分形式や関数はすべて C^{∞} 級とする。

定義１．以下のように群を定める。

M(2, ℝ) = \{( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} )| a_{ij} ∈ ℝ\}
GL(2, ℝ) = {A ∈ M(2, ℝ)| det A ≠ 0}
SL(2, ℝ) = {A ∈ M(2, ℝ)| det A = 1}

M(2, ℝ) は加法に関して群を成し、 GL(2, ℝ) や SL(2, ℝ) は行列の積に関して群を成す。

定義２． ℂ の１点コンパクト化を ℂ̂ で表す: ℂ̂ = ℂ ∪ {∞}。この付け加えた点 ∞ は無限遠点と呼ばれる。また、 ℂ̂ は S^{2} と同相である。

定義３．（１次分数変換） A を GL(2, ℝ) の元とする。 A = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} ) の時、 A から次のような写像 φ_{A} :

ℂ̂ → ℂ̂ が定まる:

φ_{A}(z) = \frac{a_{11}z + a_{12}}{a_{21}z + a_{22}} , z ∈ ℂ
φ_{A}(∞) = \frac{a_{11}}{a_{21}}

但し、 a ∈ ℂ \ \{0\} に対して\frac{a}{0} は無限遠点 ∞ を表すとする。\frac{0}{0} は定義しない。このようにして決まる写像を１次分数変換という。

問題１．

1) A ∈ GL(2, ℝ) に対して、 φ_{A} は ℂ̂ から ℂ̂ への１対１の写像（全射かつ単射）であることを確かめよ。特に (φ_{A})^{−1} を適当な行列 B を用いて φ_{B} の形に表せ。

2) （一般の） A, B ∈ GL(2, ℝ) に対して φ_{B} ∘ φ_{A} = φ_{BA} を示せ。

3) （一般の） A, B ∈ GL(2, ℝ) に対して、 φ_{A} = φ_{B} になるのはいつか。必要十分条件を求めよ。

定義４． GL(2, ℝ) に同値関係 ∼ を次のように定める:

A ∼ B ⇔ ∃k ∈ ℝ \ {0}, A = kB 但し A, B ∈ GL(2, ℝ)。

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そして GL(2, ℝ) をこの同値関係で割ったもの、つまり同値類の集合を PGL(2, ℝ) と書く。上の同値関係は SL(2, ℝ) に制限すると、

A ∼ B ⇔ A = BまたはA = −B 但し A, B ∈ SL(2, ℝ)

となる。 SL(2, ℝ) をこの同値関係で割ったものを PSL(2, ℝ) と書く。安直に言えば GL(2, ℝ) において A = kA、 SL(2, ℝ) において A = −A だと思ったものが PGL(2, ℝ) や PSL(2, ℝ) である。

問題２． PGL(2, ℝ) に次のように積を入れる。まず、 [A], [B] をそれぞれ A, B ∈ GL(2, ℝ) があらわす PGL(2, ℝ) の元とする。このとき、

[A][B] = [AB]

と定める。このとき 1) 上の定義に矛盾がない（well-defined）ことを示せ。

2) 上の式で積を定めたとき、 PGL(2, ℝ) が群であることを示せ。

参考１．問題１から φ : A ↦ φ_{A} という写像が PGL(2, ℝ) から Diff(ℂ̂) への単射群準同型である、ということがわかる。ただし Diff(ℂ̂) は自己微分同相の成す群で、積は写像の合成で定義する。

参考２．ここまでは行列の成分は実数としていたが、複素数でも同様の定義は可能である。この時は PGL(2, ℝ) や PSL(2, ℝ) の代わりに、（少し定義が異なる） PGL(2, ℂ) と書かれる群が用いられることが多い。ここでは成分が複素数の場合についてはこれ以上扱わない。

事実１． PGL(2, ℝ) の元のうち、 ℂ̂ の向きを保つ１次分数変換を表すもの全体がちょうど PSL(2, ℝ) になる。

定義５． ℍ で上半平面 {z ∈ ℂ | Im z > 0} を表す。 ℍ は ℂ の開部分集合であるから、これをさらに ℂ̂ の開部分集合とみなす。その上で、 ℍ の ℂ̂ の中での閉包を\overline{ℍ} で表す。

問題３． A ∈ SL(2, ℝ) とする。

1) φ_{A} は ℍ の微分同相写像であることを示せ。また、 ℍ の微分同相として φ_{A} = φ_{B} になるのはいつか、必要十分条件を定めよ。ただし、 A, B ∈ SL(2, ℝ) とする。

2) φ_{A} による\overline{ℍ} の像はどのようになるか調べよ。必要なら\overline{ℍ} = ℍ ∪ ℝ ∪ \{∞\} を用いてよい。ここで、 ℝ は自然に ℂ に含まれているとする。事実２．これまでは、実関数の外微分を扱ってきたが、複素関数についても外微分などが定義できる。具体的には、 f : ℂ → ℂ が C^{∞} 級の写像の時、まず、 z = x+\sqrt{−1} y として、 ℂ = ℝ^{2} と考える。すると、

df = \frac{∂f}{∂x} dx + \frac{∂f}{∂y} dy

であるが、これを

df = \frac{1}{2} (\frac{∂f}{∂x} − \sqrt{−1}\frac{∂f}{∂y} ) (dx + \sqrt{−1}dy) + \frac{1}{2} (\frac{∂f}{∂x} + \sqrt{−1}\frac{∂f}{∂y} ) (dx − \sqrt{−1}dy)

と書き直す。ここで、

\frac{∂f}{∂z} = \frac{1}{2} (\frac{∂f}{∂x} − \sqrt{−1}\frac{∂f}{∂y} ) ,
\frac{∂f}{∂\overline{z}} = \frac{1}{2} (\frac{∂f}{∂x} + \sqrt{−1}\frac{∂f}{∂y} ) ,
dz = dx + \sqrt{−1}dy
d\overline{z} = dx − \sqrt{−1}dy

と定めれば、

df = \frac{∂f}{∂z} dz + \frac{∂f}{∂\overline{z}} d\overline{z}

とかける。形式的には、これは、 f を z, \overline{z} の関数として表し、 z, \overline{z} を独立変数とみて外微分することと同じである。

問題４．次の ℂ から ℂ への関数の外微分を求めよ。 1) f(z) = z^{2}

2) f(z) = z\overline{z}

3) f(z) = \frac{az + b}{cz + d}, a, b, c, d は複素定数

定義６．（Poincaré 計量；復習） ℍ のリーマン計量

g_{ℍ} = \frac{1}{(Im z)^{2}} dz · d\overline{z} = \frac{1}{y^{2}} (dx · dx + dy · dy)

を Poincaré 計量という。また、単位開円板

𝔻 = {z ∈ ℂ | |z| < 1}

の計量

g_{𝔻} = \frac{4dz · d\overline{z}}{(1 − |z|^{2})^{2}} = \frac{4 (dx · dx + dy · dy)}{(1 − (x^{2} + y^{2}))^{2}}

も Poincaré 計量という。但し z = x + \sqrt{−1} y。

問題５． A ∈ SL(2, ℝ) とする。この時 φ_{A}^{∗}g_{ℍ} = g_{ℍ} を示せ。

定義７．計量の入った空間 (X_{1}, g_{1}) と (X_{2}, g_{2}) を考える。 X_{1} から X_{2} への微分同相写像 f で、 f^{∗}g_{2} = g_{1} なるものが存在する時、 (X_{1}, g_{1}) と (X_{2}, g_{2}) は等長であるという。また、このような f を等長写像という。計量がはっきりしている時には単に X_{1} と X_{2} は等長であるという。

事実３．問題５によれば、 A ∈ SL(2, ℝ) の時 φ_{A} は ℍ から自分自身への等長写像（自己等長写像）である。また、先週の問題２によれば、 ψ : 𝔻 → ℍ を

ψ(z) = \sqrt{−1}\frac{1 − z}{1 + z}

で定めれば、 ψ は 𝔻 から ℍ への等長写像である。

問題６． U, V, W を ℝ^{2} の開集合、 g を W の計量とする時、滑らかな写像 ψ_{1} : U → V, ψ_{2} : V → W に対して、 (ψ_{2} ∘ ψ_{1})^{∗}g = ψ_{1}^{∗}(ψ_{2}^{∗}g) を示せ。

問題７． A ∈ SL(2, ℝ) とする。 1) ψ^{−1} ∘ φ_{A} ∘ ψ が 𝔻 の自己等長写像であることを示せ。

2) １次分数変換

ρ(z) = e^{\sqrt{−1}θ} \frac{z − a}{1 − \overline{a}z}

は 𝔻 の自己等長写像であることを示せ。ただし、 θ ∈ ℝ, a ∈ 𝔻 とする。 3) A ∈ SL(2, ℝ) が与えられた時、 ψ^{−1} ∘ φ_{A} ∘ ψ がある θ, a により 2) の ρ の形

に書けることを示せ。

事実５． ℍ の自己等長写像で、向きを保つもの全体が実は PSL(2, ℝ) である。正確に言えば、参考１のように写像 φ を決めるとこれは問題３から単射準同型であるが、その像は ℍ の自己等長写像で ℍ の向きを保つもの全体になる。

この後の問題は演習の時間中に解かなくとも良いが、各自調べておくこと。

問題８． A ∈ SL(2, ℝ) に対して φ_{A} が ℂ̂ から ℂ̂ への微分同相写像であることを示せ。

問題９．\overline{ℍ} = ℍ ∪ ℝ ∪ \{∞\} を示せ。ただし ℝ は ℂ に自然に含まれているとする。

問題１０．先週問題２ができなかった人は事実３を確かめよ。