１９９７年度幾何学Ａ演習（第 10 回） ’97/6/18 15:00〜17:15 微分形式や関数はすべて C^{∞} 級とする。

定義１．（テンソルの引き戻し）前回微分形式の引き戻しを定義したが、第１基本型式のようなテンソルに対しても同様に引き戻しの操作が定義できる。つまり、 ℝ^{2} のテンソル場（例；第１基本型式）

f = f_{1}dx · dx + f_{2}dx · dy + f_{3}dy · dy

と、滑らかな写像 ψ : ℝ^{n} → ℝ^{2} (n = 1, 2, 3) に対して、

ψ^{∗}f = (f_{1} ∘ ψ)(ψ^{∗}dx) · (ψ^{∗}dx) + (f_{2} ∘ ψ)(ψ^{∗}dx) · (ψ^{∗}dy) + (f_{3} ∘ ψ)(ψ^{∗}dy) · (ψ^{∗}dy)

と定める。特に ψ が ℝ^{2} から ℝ^{2} への微分同相写像で、 f が第１基本型式なら ψ^{∗}f も第１基本型式である。ここで、 ψ や f は ℝ^{2} で定義されているとしたが、 ψ を ℝ^{n} の開集合 U から、 ℝ^{2} の開集合 V への微分可能写像として、 f は V で定義されているとしても良い。このとき ψ^{∗}f は U 上のテンソル場になる。

参考．関数 f ∘ ψ をしばしば ψ^{∗}f と書く。

問題２．上半平面 ℍ^{2} = {(x, y) ∈ ℝ^{2}| y > 0} の第１基本型式 g を

g(x, y) = \frac{1}{y^{2}} (dx · dx + dy · dy)

で定める。ここで、単位開円板 𝔻^{2} = {(u, v) ∈ ℝ^{2}| u^{2} + v^{2} < 1} から ℍ^{2} への微分同相写像 ψ を

ψ(u, v) = \sqrt{−1}\frac{1 − w}{1 + w}

で定める。ただし w = u+\sqrt{−1}v で、複素数 ψ(u, v) は ψ(u, v) = x+\sqrt{−1}y, x, y ∈ ℝ と書いて、座標 (x, y) を表しているとみなす。このとき ψ^{∗}g を u, v で表せ。

定義３． g = f_{1}dx · dx + 2f_{2}dx · dy + f_{3}dy · dy を ℝ^{2} の開集合 O で定義されたテンソル場とする。

1) 任意の (x, y) ∈ O に対して D(x, y) ≠ 0 の時、 g を O の計量という。

2) 任意の (x, y) ∈ O に対して D(x, y) > 0 のとき、 g を O のリーマン計量も

しくは第１基本テンソルという。但し

D(x, y) = det ( \begin{matrix}f_{1}(x, y) & f_{2}(x, y) \\ f_{2}(x, y) & f_{3}(x, y) \end{matrix} )

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とする。

参考．単に ℍ^{2} と書いてしばしば上半平面に計量 g （Poincaré 計量と呼ばれる）を入れたものを表す。また、同様に 𝔻^{2} と書いてしばしば単位円板に計量 ψ^{∗}g （これも Poincaré 計量と呼ばれる）を入れたものを表す。

問題４． 1) 問題２の g と ψ^{∗}g が計量である事を確かめよ。

2) g を ℝ^{2} の計量、 ψ : ℝ^{2} → ℝ^{2} を微分同相とする。このとき ψ^{∗}g が計量である事を示せ。

定義５． g を ℝ^{2} の開集合 O の計量、 l を l(t) で表される O 内の滑らかな曲線とする。 s を l の閉集合 l([a, b]) とする時、 s の（g に関する）長さ Length_{g}(s) を次のように定める。即ち、まず l^{∗}g = f(t)dt · dt と書き表し、

Length_{g}(s) = ∫_{a}^{b} \sqrt{f(t)}dt

と定める。

問題６．

1) l(t) = (0, e^{t}) で与えられる ℍ^{2} の曲線 l について、 s = l([0, 1]) の長さを求めよ。但し計量は問題２と同じ物（ここでは g と書く）を入れる。

2) ψ : 𝔻^{2} → ℍ^{2} を問題２と同じ写像とする。このとき ψ ∘ l_{1}(t) = l(t) となる 𝔻^{2} の曲線 l_{1} を求め、 l_{1}([0, 1]) の（ψ^{∗}g に関する）長さを求めよ。

3) ℝ^{2} の Euclid 計量（と呼ばれるリーマン計量） g_{0} = dx · dx + dy · dy と ℝ^{2} 内の曲線 l = l(t) に対して s = l([a, b]) と置き、 Length_{g_{0}}s を積分で表せ。

注意７． ℝ^{2} の Euclid 計量を、「標準的な（リーマン）計量」、「通常の（リーマン）計量」などとしばしば呼ぶ。また、単に ℝ^{2} でしばしば空間 ℝ^{2} に Euclid 計量を入れたものをあらわす。

問題８． E^{1,1} を ℝ^{2} に計量 g_{0} = dx · dx − dy · dy を入れたものとする。 E^{1,1} の曲線 l(t) = (at, bt) を考え、 s = l([−1, 1]) とおく。このとき Length_{g_{0}}s を a, b で表し、その値が a, b によりどう変化するか調べよ。

参考． g_{0} を Lorentz 計量、 E^{1,1} を（２次元の） Lorentz 空間という。

注意９．一般次元の ℝ^{n} などについてもほぼ同様に定義する。