１９９７年度幾何学Ａ演習（第９回） ’97/6/11 15:00〜17:15

微分形式や関数はすべて滑らか (C^{∞}級) とする。また、微分形式や関数はすべて ℝ, ℝ^{2} もしくは ℝ^{3} の開集合で考える。

先週 ‘∫_{x^{2}+y^{2}=1} ydx − xdy’ というような書き方をしたが、これは正しくない。正しくは次のようにする。

定義 1． γ を ℝ^{3} の向き付けられた閉曲線、 ω を ℝ^{3} の γ を含む開集合で定義された 1-形式とする。この時 ∫_{γ} ω を次のように定める。

まず、 γ を (x, y, z) = p(t) = (p_{1}(t), p_{2}(t), p_{3}(t)) と径数付ける。このとき t が孤長である必要はないが、 t が増える時に、対応する点は γ の向きに沿って動くようにとる。今、 ω = f_{1}(x, y, z)dx + f_{2}(x, y, z)dy + f_{3}(x, y, z)dz と表しておき、 ℝ 上の微分形式 p^{∗}ω を

p^{∗}ω = f_{1} ∘ p(t)dp_{1} + f_{2} ∘ p(t)dp_{2} + f_{3} ∘ p(t)dp_{3}

と定義する (これを p による ω の引き戻しという)。すると、 p^{∗}ω は g(t)dt という形に書けるので、 a ≤ t ≤ b で点 p(t) が γ を一周するとした時、

∫_{γ} ω = ∫_{a}^{b} p^{∗}ω = ∫_{a}^{b} g(t)dt

と定める。 ℝ^{2} の閉曲線、 1-形式についても座標が一つ減るほかはまったく同様に ∫_{γ} ω を定める。

すると ∫_{γ} ω はとりあえず曲線の径数付けによるように見えるが、実はこれは径数付けにはよらない（確かめてみよ）。しかし、 γ の向きを逆にした閉曲線 γ′ を考えると積分の値は変わる。

問題１．次の積分を求めよ。 1) ∫_{γ} \frac{ydx − xdy}{x^{2} + y^{2}} , γ は正の向き (反時計周り) に向き付けられた半径 r の円周

2) ∫_{γ′} \frac{ydx − xdy}{x^{2} + y^{2}} , γ′ は負の向き (時計周り) に向き付けられた半径 r の円周

上の問題からも予想されるように、一般に ∫_{γ′} ω = − ∫_{γ} ω がなりたつ。 (ほかにも理由はあるが、 ) このような理由により、向き付けられた閉曲線 γ の向きを逆にしたものをしばしば −γ と書く。

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上で「引き戻し」といわれる微分形式が現れたが、これは一般に次のように定義される。

定義２． ω を ℝ^{n} の開集合 O 上の p-形式、 U を ℝ^{m} の開集合、 f : U → O を滑らかな写像とする (今考えている範囲では、 m や n は 1, 2 または 3 のいずれかだが、実際には任意の正整数でよい）。このとき、 ω の f による引き戻し (pull-back) と呼ばれる U 上の p-形式 f^{∗}ω を次のように定める。簡潔に書くため、 p = 2, n = 3, m = 2 として記すが、ほかの場合も同様である。

最初に ω が定義されていた O のある ℝ^{3} の座標を (x, y, z) とする。この時 ω は

ω = g_{1}(x, y, z)dy ∧ dz + g_{2}(x, y, z)dz ∧ dx + g_{3}(x, y, z)dx ∧ dy

と書ける。今、 U のある ℝ^{2} の方の座標を (u, v) で表す事にすると、 f : U → O は座標を使って f(u, v) = (f_{1}(u, v), f_{2}(u, v), f_{3}(u, v)) と書けるので、

f^{∗}ω = (g_{1} ∘ f)df_{2} ∧ df_{3} + (g_{2} ∘ f)df_{3} ∧ df_{1} + (g_{3} ∘ f)df_{1} ∧ df_{2}

と定める。もちろん、 g_{i} ∘ f や、 df_{j} は u, v に依存するので本来 (g_{i} ∘ f)(u, v) や df_{j}(u, v) と書くべきであるが、今の場合これらは (u, v) に依り、ほかの変数には依らない事はあきらかなので省略した。

事実１． d(f^{∗}ω) = f^{∗}(dω) が成り立つ (各自確かめよ)。

定義３． ℝ^{3} 内の向き付けられた閉曲面 Σ と、 Σ を含む ℝ^{3} の開集合で定義された 2-形式 ω に対して積分

∫_{Σ} ω

を次のように定める。

まず、 Σ を次のようないくつかのパラメータ付けられた開曲面片 U_{1},…, U_{r} で覆う：

i) 各 i に対して U_{i} のパラメータづけ p_{i} の定義域は ℝ^{2} の単位閉円板 D^{2} を含むある開集合 O_{i} であるとする: O_{i} ⊃ D^{2}。更に p_{i} は向きを保つ写像であるとする。

ii) p_{i} : O_{i} → U_{i} による単位円周 S^{1} = ∂D^{2} の像は、 ℝ^{3} の区分的に滑らかな閉

曲線になっている。 iii) ⋃_{i=1}^{r} p_{i}(D^{2}) = Σ が成り立っていて、更に D^{2} の内部、つまり単位開円板を D̊^{2}

で表した時、 i ≠ j なら p_{i}(D̊^{2}) ∩ p_{j}(D̊^{2}) = ϕ であるとする。つまり、閉曲面 Σ を「きれいな形に」切り分ける。このような開曲面片は必ず取れる。このとき

∫_{Σ} ω = ∑_{i=1}^{r} ∫_{D^{2}} p_{i}^{∗}ω

と定める。あとで境界付き曲面を定義するが、積分は同様に定める。つまり、曲面を「きれいに」切り分けて各々での積分を足しあわせる。

事実２．実は ∫_{Σ} ω は曲面片の取り方によらない。

（補足）．この積分の定義と同値な定義で、もっと使いやすい (が、式で書くのは面倒な) 定義もあり、教科書にはそちらが書いてあるかもしれない。別にどちらを使っても構わない。

問題２．次の積分を求めよ。

1) ∫_{S^{2}} \frac{xdy ∧ dz + ydz ∧ dx + zdx ∧ dy}{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{\frac{3}{2}}}

ただし、 S^{2} には法線ベクトルが ℝ^{3} \ S^{2} のうち、原点を含まない方を向くように向きを入れる。

2) ∫_{Σ} x^{2}dx ∧ dy ここで、 Σ は単位上半球 S^{2} ∩ {(x, y, z)|z ≥ 0}。

定義４． 1) 微分形式 ω が閉形式 (closed form) であるとは、 dω = 0 が成り立つ事を言う。

2) 微分形式 ω が完全形式 (exact form) であるとは、ある微分形式 η が存在し、 dη = ω が成り立つ事である。

注意１．完全形式は閉形式である。このことは ℝ^{2} の開集合上の微分形式について先週調べた。

定理１． (Poincaré の補題) O を ℝ^{n} (n = 2, 3) の開球または開立方体とする。ただし、 O = ℝ^{n} でもよい。この時 O 上の閉形式はすべて完全形式である。

定義５．

1) Ω_{0} を ℝ^{3}(または ℝ^{2}) の有界な開集合で、その境界 ∂Ω_{0} が曲面 (または曲線) であるようなものとする。このような Ω_{0} により、 Ω = Ω_{0} ∪ ∂Ω_{0} とかけるものを ℝ^{3}(もしくは ℝ^{2}) の (有界な) 境界付き多様体という。 ℝ^{2} の境界付き多様体は境界付き曲面とも呼ばれる。 2) 閉曲面 Σ については ∂Σ = ϕ と考えて、 (空集合という) 境界のある曲面と

も考える。

定義６． ℝ^{n} (n = 2, 3) の閉集合 K 上の (K で定義された) 微分形式とは、 K のある近傍で定義された微分形式のことを言う。

定理２． (Stokes の定理) Ω を ℝ^{3}(または ℝ^{2}) の有界な境界付き多様体とする。いま、 ω を Ω で定義された微分形式とすると

∫_{Ω} dω = ∫_{∂Ω} ι^{∗}ω

が成り立つ。ここで、 ι は自然な埋め込み ∂Ω → Ω を表し、 ∂Ω には Ω から「自然に」向きを入れる。また ∫_{ϕ} ω = 0 と考える。

注意２．上の式で、左辺は３次元 (または２次元) の空間での積分で、右辺は２次元 (１次元) の空間での積分である事に注意。

問題３．

1) ℝ^{2} の単位閉円板 D 上での閉形式 ω に対して ∫_{S^{1}} ι^{∗}ω = 0 を示せ。ただし、

ι : S^{1} → D は通常の埋め込みで、 S^{1} には正の向きを入れる。
2) 閉曲面 Σ について ∫_{Σ} dω = 0 を示せ。

問題４．次の微分形式 ω_{i} は完全形式であるか、そうであれば dη_{i} = ω_{i} なる微分形式を一つ与えよ。そうでなければ、完全形式でない理由を述べよ (注意：定義域を変えてはいけない)。

1) ℝ^{3} 上の微分形式 ω_{1} = dx + dy + dz

2) S^{1} 上の微分形式 ω_{2} = xdy − ydx

3) ℝ^{2} 上の微分形式 ω_{3} = xdy + ydx

4) ℝ^{3} \ \{0\} 上の微分形式 ω_{4} = \frac{xdy ∧ dz + ydz ∧ dx + zdx ∧ dy}{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{\frac{3}{2}}}

注意３．ここまでの定理や定義は ℝ^{2} や ℝ^{3} (の開集合) について述べているが、語句を適当に修正すれば一般の ℝ^{n} の場合について成り立つ。

以下ではベクトル解析との関連について扱う。

定義７． f を ℝ^{3} の開集合 O 上の滑らかな関数とする。 grad f と書かれるベクトル場を

grad f = \frac{∂f}{∂x} \frac{∂}{∂x} + \frac{∂f}{∂y} \frac{∂}{∂y} + \frac{∂f}{∂z} \frac{∂}{∂z}

で定め、 f の勾配 (gradient) という。また、ベクトル場 X = f_{1} \frac{∂}{∂x} + f_{2} \frac{∂}{∂y} + f_{3} \frac{∂}{∂z} に対して、ベクトル場 rot X、関数 div X をそれぞれ

rot X = (\frac{∂f_{3}}{∂y} − \frac{∂f_{2}}{∂z} ) \frac{∂}{∂x} + (\frac{∂f_{1}}{∂z} − \frac{∂f_{3}}{∂x} ) \frac{∂}{∂y} + (\frac{∂f_{2}}{∂x} − \frac{∂f_{1}}{∂y} ) \frac{∂}{∂z}
div X = \frac{∂f_{1}}{∂x} + \frac{∂f_{2}}{∂y} + \frac{∂f_{3}}{∂z}

で定め、それぞれ X の回転 (rotation)、発散 (divergence) という。なにやら式は複雑だが、後述するように無理に覚えなくても差し支えない。

前回の演習でもやったように、 ℝ^{3} の微分形式について次のような同一視をする事がある。即ち

\frac{∂}{∂x} ⟷ dx ⟷ dy ∧ dz
\frac{∂}{∂y} ⟷ dy ⟷ dz ∧ dx
\frac{∂}{∂z} ⟷ dz ⟷ dx ∧ dy
1 ⟷ dx ∧ dy ∧ dz

(‘1’ というのは 0-形式である) と対応づける。すると、 grad f はベクトル場であるが、 1-形式

\frac{∂f}{∂x} dx + \frac{∂f}{∂y} dy + \frac{∂f}{∂z} dz

ともみなせる。これは df に他ならない。

問題５．上と同様の事を rot X と div X について考える。まずベクトル場

X = f_{1} \frac{∂}{∂x} + f_{2} \frac{∂}{∂y} + f_{3} \frac{∂}{∂z}

を上にしたがって 1-形式

ξ = f_{1}dx + f_{2}dy + f_{3}dz

や 2-形式

η = f_{1}dy ∧ dz + f_{2}dz ∧ dx + f_{3}dx ∧ dy

とそれぞれ同一視する。 1) rot X を上の方法で 2-形式とみなして ξ で表せ。

2) div X を上の方法で 3-形式とみなして η で表せ。

ここで、更にベクトルの内積を考える。 ℝ^{3} のベクトル X = a_{1} \frac{∂}{∂x} + a_{2} \frac{∂}{∂y} + a_{3} \frac{∂}{∂z}

と Y = b_{1} \frac{∂}{∂x} + b_{2} \frac{∂}{∂y} + b_{3} \frac{∂}{∂z} の内積 X · Y は a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3} で与えられた (a_{i}, b_{j}

は滑らかな関数)。今、上に従って X を 1-形式 ξ、 Y を 2 形式 η とみなす (逆でも良い)。更に内積として得られる関数を 3-形式 ω とみなすと ω = ξ ∧ η となる。つまり、 ℝ^{3} においては内積も外積により表す事ができる。

問題６．これ (ω = ξ ∧ η) を確かめよ。以下、上記のやり方で内積と外積も同一視する。

問題７．次を示せ。 1) rot (grad f) = 0

2) div (rot X) = 0

問題８． Stokes の定理を用いて次を示せ。ただし、 D^{3} は ℝ^{3} の単位閉球、 S^{2} は ℝ^{3} 内の単位球面とする。また、ベクトル場 N を

N(x, y, z) = x\frac{∂}{∂x} + y \frac{∂}{∂y} + z \frac{∂}{∂z}

で定める (N は S^{2} へ制限したとき S^{2} の単位法線ベクトル場であればよい)。 1) (古典的な Stokes の定理の特別な場合) 任意のベクトル場 X に対して

∫_{S^{2}}(rot X · N)Vol_{S^{2}} = 0

2) (Gauss の定理の特別な場合) 任意のベクトル場 X に対して

∫_{D^{3}} div Xdxdydz = ∫_{S^{2}} F · NVol_{S^{2}}

rot X 、 div X や N を微分形式とみなすとどうなるか、考えてみよ。

古典的にベクトル解析で知られていた定理は微分形式を使う事で簡潔に記述できる。