１９９７年度幾何学Ａ演習（第８回） ’97/6/4 15:00〜17:15

’97/6/7 一部改訂

ℝ^{2} に普通に座標を入れ、 x-y 平面とみなし、これにあわせて記号 dx, dy を考える（勿論本当は dx, dy 等は無意味な記号ではない）。

定義１． dx, dy には外積と呼ばれ、 ∧ で表される積が定義され、

dx ∧ dy = −dy ∧ dx
dx ∧ dx = dy ∧ dy = 0

であるとする。

定義２． O を ℝ^{2} の開集合とする。 1) O 上の滑らかな関数を O 上の滑らかな 0 次微分形式と呼ぶ。

2) fdx + gdy の形をした記号を O 上の滑らかな 1 次微分形式と呼ぶ。ここで、 f, g は O 上の滑らかな関数。

3) hdx ∧ dy（ = h(−dy ∧ dx)）の形をした記号を O 上の滑らかな 2 次微分形式と呼ぶ。ここで h は O 上の滑らかな関数。

4) 0 は特別に 0-形式とも、 1-形式とも、そして 2-形式であるとも考える。微分形式の和や差については自然な方法で決める。例えば

fdx + gdx = (f + g)dx

と定める。

注意１．以下では微分形式は滑らかなものしか考えないので、滑らかな p 次微分形式のことを単に p 次微分形式という (p = 0, 1, 2)。更に、 p 次微分形式のことを単に p-形式と呼ぶ事もある。

定義３．定義１の外積を以下の規則で拡張する： 1) 0-形式（＝関数） f, g に対して、 f ∧ g = fg (普通の積) とおく。

2) 0-形式 f と 1-形式 dx に対して f ∧ dx = dx ∧ f であるとし、これを fdx とも (dx)f とも書く。 1-形式 dy に対しても同様。

3) 外積は分配的でかつ結合的とする。つまり、任意の微分形式 ω_{i}, i = 1, 2, 3 に対して

(ω_{1} + ω_{2}) ∧ ω_{3} = ω_{1} ∧ ω_{3} + ω_{2} ∧ ω_{3}
ω_{1} ∧ (ω_{2} + ω_{3}) = ω_{1} ∧ ω_{2} + ω_{1} ∧ ω_{3}

Typeset by AMS-TEX

と

(ω_{1} ∧ ω_{2}) ∧ ω_{3} = ω_{1} ∧ (ω_{2} ∧ ω_{3})

が成り立つ。

注意２． p-形式と q-形式との外積は p + q 形式である。また、 p-形式同士の和や差は再び p-形式である（各自確認する事）。

注意３．全ての微分形式に対してその次数が上の方法で決まる訳ではない。例えば f + dx は f を関数とすると微分形式であるが、その次数はここでは定義しない。

定義４．微分形式に対し外微分といわれる操作を次で定める。 1) 0-形式 f に対して df = \frac{∂f}{∂x} dx + \frac{∂f}{∂y} dy と定める。

2) 1-形式 ω = fdx + gdy に対して dω = df ∧ dx + dg ∧ dy と定める。
3) 2-形式 η = hdx ∧ dy に対して dη = dh ∧ dx ∧ dy と定める。

問題１．

1) 1-形式 ω = fdx + gdy に対して dω = (−\frac{∂f}{∂y} + \frac{∂g}{∂x}) dx ∧ dy を示せ。

2) 2-形式 η に対して dη = 0 を示せ。

3) 0-形式 f, g に対して df ∧ dg を求めよ。

4) 0-形式 f に対して d(df) = 0 を示せ。

問題２．

1) ( \begin{matrix}u \\ v \end{matrix} ) = A ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} )、ただし A = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} ) の時、 du ∧ dv を dx, dy を用い

て表せ。

2) (x, y) = (r cos θ, r sin θ) とする時、 dx, dy, dx ∧ dy を dr, dθ で表せ。

3) (u, v) = f(x, y) = (f_{1}(x, y), f_{2}(x, y)) とする。この時、 du ∧ dv を求めよ。

定義５． ℝ^{2} を x-y 平面と再び見る。このとき 2-形式 fdx ∧ dy の積分を

∫ fdx ∧ dy = ∫ fdxdy

で定める。

注意４．問題２からも分かるように、例えば変数を取り替えたりすれば dx ∧ dy はいろいろな式で表現されるが微積分の時にやった（であろう）変数変換の公式と比べると、上の定義は矛盾がない (well-defined) ことがわかる。問題３．次の積分を求めよ。但し、 1), 2) において円周は正の向きに向きをつける。

1) ∫_{x^{2}+y^{2}=1} (xdy − ydx)
2) ∫_{x^{2}+y^{2}=1} (xdy + ydx)

3) ∫_{x^{2}+y^{2}≤1} \sqrt{1 − x^{2} − y^{2}}dx ∧ dy

今までは ℝ^{2} の微分形式だけを考えたが、 ℝ^{3} の微分形式も考える事にする。 ℝ^{3} を x-y-z 空間と考えて、 ℝ^{2} の時と同様に dx, dy, dz を考え、外積も同様に定義する。

問題４．

1) ω_{1} = a_{1}dx + a_{2}dy + a_{3}dz, ω_{2} = b_{1}dx + b_{2}dy + b_{3}dz と置き、 ω_{3} = ω_{1} ∧ ω_{2} を求めよ。

2) η を ω_{3} において、 dy ∧ dz を dx に、 dz ∧ dx を dy に、 dx ∧ dy を dz にそれぞれ形式的に置き換えて出来る微分形式とする。ここで更に、微分形式

adx + bdy + cdz をベクトル a\frac{∂}{∂x} + b\frac{∂}{∂y} + c\frac{∂}{∂z} と同一視した時、ベクトル

と見て ω_{1} × ω_{2} を計算し、ベクトルとしてみた η と比較せよ。

3) 1-形式 ω_{1}, ω_{2} に対して d(ω_{1} ∧ ω_{2}) = (dω_{1}) ∧ ω_{2} − ω_{1} ∧ (dω_{2}) を示せ。

事実１．一般に p-形式 ω と q-形式 η に対して

d(ω ∧ η) = (dω) ∧ η + (−1)^{p}ω ∧ (dη)

が成り立つ（q の値にはよらない）。