１９９７年度幾何学Ａ演習（第６・７回） ’97/5/21,28 15:00〜17:15

’97/5/29 一部改訂

パラメーター表示された ℝ^{3} 内の曲面

p(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

を考える。事実１． (u, v) ∈ O （O は ℝ^{2} の開集合）のとき、上の式が曲面（片）を表すのは、

Dp = ( \begin{matrix}\frac{∂x}{∂u} & \frac{∂y}{∂u} & \frac{∂z}{∂u} \\ \frac{∂x}{∂v} & \frac{∂y}{∂v} & \frac{∂z}{∂v} \end{matrix} )

が (u, v) ∈ O のとき常に階数 2、つまり１行目のベクトル p_{u} と２行目のベクトル p_{v} が１次独立なときである。以下では Dp の階数は常に 2 になっているとする。また、 V が u, v のベクトル値関数のとき\frac{∂V}{∂u} を V_{u}、\frac{∂V}{∂v} を V_{v} と書くことにする。定義１．（第１基本形式、または第１基本テンソル場）

E = p_{u} · p_{u}, F = p_{u} · p_{v}, G = p_{v} · p_{v}

と置き、

E(du)^{2} + 2F dudv + G(dv)^{2}

を第１基本型式（テンソル場）といい、 g であらわす。第１基本型式を（リーマン）計量ということもある。注意１．第１基本型式は（交代形式ではないという意味で）微分形式ではない。 dudv

とは、正確には\frac{1}{2} (du ⊗ dv + dv ⊗ du) のことであり、 (du)^{2} とは dudu = du ⊗ du

のことである。今のところは「微分形式ではない」ことだけ留意しておけばよい。定義２．（Gauss 曲率・第２基本型式） e を p_{u}, p_{v} に直交し、 (e, p_{u}, p_{v}) が正の向きになるような長さ１のベクトルとする。 e は例えば、 e = \frac{p_{u} × p_{v}}{|p_{u} × p_{v}|} として求めることが出来る。ここで、 ‘×’ は外積を、 ‘| · |’ は ℝ^{3} の普通のノルム（2–ノルム、 Euclid ノルムという）である。この時

L = p_{uu} · e = −p_{u} · e_{u}
M = p_{uv} · e = −p_{u} · e_{v} = −p_{v} · e_{u}
N = p_{vv} · e = −p_{v} · e_{v}

Typeset by AMS-TEX

とおく。ここで p_{uu} = (p_{u})_{u} であり、上の等式は、たとえば L について言えば、「p_{uu} · e = −p_{u} · e_{u} がなりたち、それを L とおく」ということである。

最後に

K = \frac{LN − M^{2}}{EG − F^{2}} , h = L(du)^{2} + 2Mdudv + N(dv)^{2}

とおき、 K を Gauss 曲率、 h を第２基本型式（第２基本テンソル場）という。

事実２． Gauss 曲率の定義はとりあえず p によるが、実は E, F, G とその微分にしかよらない。

問題１．次の問いに答えよ。

1) v = (a_{1}, a_{2}, a_{3}), w = (b_{1}, b_{2}, b_{3}) のときに、 v × w を a_{1}, a_{2}, a_{3}, b_{1}, b_{2}, b_{3} を用いて成分で表せ。ただし、 ℝ^{3} のベクトル v, w に対して、 v × w は

i) v と w が張る平行四辺形の面積を長さとして、

ii) v と w の両方と直交し、

iii) (u, v, w) が負の向きにはならない、つまり u = (c_{1}, c_{2}, c_{3}) としたとき、

det ( \begin{matrix}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix} ) ≥ 0

となるような唯一のベクトル u として決める。

2) 任意の空間ベクトル v, w について、 w × v = −v × w を示せ。

3) 任意の空間ベクトル u, v, w, x に対して、

(u × v) · (w · x) = (u · w)(v · x) − (u · x)(v · w)

を示し、 |v × w|^{2} を、 v, w の内積と長さを使い、成分を用いずに表せ。

問題２．次の曲面の Gauss 曲率を求めよ。 1) については与えられた２つの表示をそれぞれを用いて２通りに求めること。

1) S^{2} = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3}| x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1}

i) p(u, v) = \{ \begin{matrix}(u, v, \sqrt{1 − u^{2} − v^{2}}) \\ (u, v, −\sqrt{1 − u^{2} − v^{2}}) \\ (\sqrt{1 − u^{2} − v^{2}}, u, v) \\ (−\sqrt{1 − u^{2} − v^{2}}, u, v) \\ (u, \sqrt{1 − u^{2} − v^{2}}, v) \\ (u, −\sqrt{1 − u^{2} − v^{2}}, v) \end{matrix}

但し、それぞれにおいて (u, v) は u^{2} + v^{2} < 1 を満たすとする。 ii) p(θ, φ) = (cos θ, sin θ cos φ, sin θ sin φ)

ここで −ϵ < θ < π + ϵ, −ϵ < φ < 2π + ϵ, ϵ は十分小なる正数

2) T^{2} = \{(x, y, z) ∈ ℝ^{3}| \begin{matrix}x & = (R + r cos u) cos v \\ y & = (R + r cos u) sin v, (u, v) ∈ ℝ^{2} \\ z & = r sin u \end{matrix}\}

但し R, r は R > r > 0 なる定数

定義３．（面積要素） ℝ^{2} の部分集合 A の面積は（定義できる場合）普通

∫_{A} dxdy

として決める。これをパラメーター表示 p(u, v) で与えられている曲面 Σ にも拡張して、その上で面積を定義したい。今とりあえず天下り的に

dS_{Σ}(u, v) = |p_{u} × p_{v}| du(u, v) ∧ dv(u, v)

と定め、これを Σ の（パラメーター表示 p に関する）面積要素という。 dS_{Σ} は Vol_{Σ} などと書いたりもする。ここで、 × は外積、 | · | は Euclid ノルムを表す。

注意２．上のように定義すると面積要素は p に依ってしまうが、これは次の意味で本質的なことではない。すなわち、 Σ に計量（第１基本型式）が与えられたとき、 Σ 上にある微分形式 Ω が存在し、（上の記号をそのまま使えば）

dS_{Σ}(u, v) = p^{∗}(Ω(p(u, v)))

が成り立つ。一般にはこの Ω を Σ の面積要素という。

注意３．定義から、 p_{u}(u, v), p_{v}(u, v) で張られる平行四辺形の面積は外積と (Euclid) ノルムを使って |p_{u}(u, v) × p_{v}(u, v)| とかける。ここで E, F, G の定義を思い出すと、

dS_{Σ}(u, v) = \sqrt{E(u, v)G(u, v) − F (u, v)^{2}}du(u, v) ∧ dv(u, v)

が成り立つ事が分かる。問題３．これを確かめよ。

注意４． (x_{1}, ⋯, x_{n}) を ℝ^{n} の普通の座標とするとき、ベクトル場\frac{∂}{∂x_{i}} や微分形式

dx_{i} は考えている点 p が明らかなときには特に\frac{∂}{∂x_{i}} |_{p} などとはあまり書かない。こ

れに従えば、例えば上の式は

dS_{Σ}(u, v) = \sqrt{E(u, v)G(u, v) − F (u, v)^{2}}du ∧ dv

と表される。

定義４．（曲面上での積分）面積要素 dS_{Σ} が与えられた曲面 Σ 上の関数 f : Σ → ℝ の積分は

∫_{Σ} fdS_{Σ}

で定める。微分形式の積分は（ℝ^{2} の場合）

∫_{K} f(x, y)dx ∧ dy = ∫_{K} f(x, y)dxdy

として定める。ここで K は積分域。

問題４． K_{Σ} で Σ の Gauss 曲率を表す。

1) S^{2} = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3}| x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1} の面積要素の表示を問題２の球面の２種類のパラーメーター表示にしたがって２通りに求め、さらに以下の積分をそれぞれのパラメーター表示の下で求めよ。

i) ∫_{S^{2}} K_{S^{2}}dS_{S^{2}}, ii) ∫_{S^{2}} xdS_{S^{2}}, iii) ∫_{S^{2}} y^{2}dS_{S^{2}}, iv) ∫_{S^{2}}(z + x^{2})dS_{S^{2}},
v) ∫_{S^{2}} cos θ_{1}dS_{S^{2}},

但し θ_{1} は極座標 (x, y, z) = (r cos θ_{1}, r sin θ_{1} cos θ_{2}, r sin θ_{1} sin θ_{2}),

(r, θ_{1}, θ_{2}) ∈ [0, ∞) × [0, π) × [0, 2π) の θ_{1}。

2) T^{2} を問題２． 2) のように定め、その適当なパラメーターに関する面積要素と

∫_{T^{2}} K_{T^{2}}dS_{T^{2}}

を求めよ。補足（曲面の面積・面積要素；難しいのでわからなくても構わない。）．今パラメーター表示 p(u, v) で与えられる曲面 Σ を考える。一般には Σ は曲がっているので、すぐにはそこでの面積の測り方はわからないが、曲線の長さの定義を参考に定める。この時曲線は ℝ^{2} の曲線でも ℝ^{3} の曲線でもよいが、今は簡単のため ℝ^{2} の曲線で考える。

まず（孤長とは限らない）パラメーター t により、 l(t) = (x(t), y(t)) と与えられた曲線 l を考える。 l([a, b]) = {l(t)| a ≤ t ≤ b} の長さは

∫_{a}^{b} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^{2} + (\frac{dy}{dt} )^{2}}dt

で与えられた。この式は何を表しているか考えてみる。被積分関数はベクトル

(\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt} )

の長さであるが、このベクトルは l の（点 l(t) での）接ベクトルに他ならない。つまり、曲線の長さは接ベクトルの長さを積分したものとして定義されている。しかし、ここで一つ問題がある。それはなぜ接ベクトルとして上に書いたものをとり、たとえば

\frac{1}{2} (\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt} )

をとらないのか、ということである（接ベクトルになればよいというのであれば、もちろん ‘\frac{1}{2}’ のところはどんな実数でもよいし、 t に依っても構わない）。これは次のように考える。いま積分をするときに、 a から b まで t を動かすが、このとき（形式的であるが）

\frac{dt}{dt} = 1

であるから、 t は a から b まで単位速度で動いている、つまり t を t をパラメーターとする曲線（直線）とみれば、その接ベクトルは常に単位ベクトル\frac{d}{dt} である。

一方、 l は ℝ から ℝ^{2} への写像とも見ることが出来るから、これで\frac{d}{dt} を写すことを

考えてみる。 t_{0} ∈ ℝ でのベクトル\frac{d}{dt}|_{t_{0}} を曲線 t の t = t_{0} での接ベクトルとみなす

と、これの写される先として一番自然なものは、曲線 t を l で写して得られる曲線の t = t_{0} での接ベクトルになるとおもわれるが、これはまさに点 l(t_{0}) に乗っているベクトル（正確に言えば、曲線上の t = t_{0} に対応する点 l(t_{0}) での l の接ベクトル）

\frac{dl}{dt}(t_{0}) = (\frac{dx}{dt}(t_{0}), \frac{dy}{dt} (t_{0}))

である。さて、曲線 t の代わりに曲線（今の場合は直線のパラメーターづけ） φ(t) をとると、

\frac{dl ∘ φ}{dt}(t_{0}) = \frac{dl}{dt}(φ(t_{0}))\frac{dφ}{dt}(t_{0})

となるが、上と同様の解釈を考えるとこれは、曲線（直線） φ(t) の t = t_{0} での接ベクトル\frac{dφ}{dt}(t_{0}) （これは点 φ(t_{0}) に乗っているベクトルと考える）が l により

\frac{dl}{dt}(φ(t_{0}))\frac{dφ}{dt}(t_{0}) に写された、ということになる。つまり、点 p ∈ ℝ に乗っているベクトルが l により l(t_{0}) に乗っているベクトルに写されるが実はその写像は線形写像で、\frac{dl}{dt}(p) はその係数になっている。このような線形写像により、直線上の長さ λ

の区間は長さ|\frac{dl}{dt}(p)| λ の区間に写るが、もう少し言い換えれば、その対応は微分形式 dt を用いて

|\frac{∂l}{∂t}(p)| dt = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^{2} + (\frac{dy}{dt} )^{2}}dt

と書ける。これははじめの積分の中身であった。

これをパラメーター表示 p(u, v) であたえられた曲面 Σ の場合に拡張すると次のようになる。まず p を ℝ^{2} から ℝ^{3} への写像と思うと、 ℝ^{2} の各点 (u, v) に対して、 (u, v) に乗っている ℝ^{2} のベクトルに対して p(u, v) における Σ の接空間のベクトルを与える線形写像が与えられるが、これは上と同様に考えると２次元ベクトル空間から別の２次元ベクトル空間への写像になるはずであるが、これを行列で書いてみる。

まず、 ℝ^{2} の点 x_{0} = (u_{0}, v_{0}) には自然なベクトル\frac{∂}{∂u}, \frac{∂}{∂v} が取れるがこれが p により何に写されるか考える。その為に以前にやった接空間の定義４（点 x_{0} における接平面とは、 x_{0} を通る曲線の x_{0} での接ベクトル全体である）を思い出し、曲線（実は直線） (u, v_{0}), (u_{0}, v) を考える。これは p により p(u, v_{0}), p(u_{0}, v) に写るから、それぞれを曲線と考えて接ベクトルを求めると、 p_{u}(x_{0}) = \frac{∂p}{∂u}(x_{0}), p_{v}(x_{0}) = \frac{∂p}{∂v}(x_{0})

となる。その他の接ベクトルを ξ \frac{∂}{∂u} + η \frac{∂}{∂v} と表し、この場合には曲線として（t をパラメーターとする）直線 (u_{0} + tξ, v_{0} + tη) を考えると、これは ξp_{u}(x_{0}) + ηp_{v}(x_{0}) に写ることがわかる。つまり、問題の行列は基底 (\frac{∂}{∂u}, \frac{∂}{∂v} ) に関しては

( p_{u} p_{v})

と表される。（いまは p_{u}, p_{v} はベクトルであるから、行き先の基底は指定する必要はない。）この時\frac{∂}{∂u}–\frac{∂}{∂v} 平面（x_{0} での接平面）の面積 A の平行四辺形は p_{u}–p_{v} 平面（p(x_{0}) での接平面）の面積 |p_{x} × p_{y}| の平行四辺形に写る。そこで

dS = |p_{x} × p_{y}| du ∧ dv

として面積要素を定義し、 (u, v)–平面の部分集合 X に対して、 Σ の部分集合 p(X) 面積を

∫_{X} dS

と定め、また X ⊂ Σ の上の関数 f の積分を

∫_{X} fdS

と定める。ただし、 p は X の近傍で同相写像であるとする。