１９９７年度幾何学Ａ演習（第５回） ’97/5/14 15:00〜17:15

定義１． ℝ^{2} 上のベクトル場 X とは、 ℝ^{2} の各点 p に対してベクトル X(p) を与える対応のことである。定義２． X を ℝ^{2} 上のベクトル場とする。 ℝ^{2} の基底 e_{1}, e_{2} を固定する（例えば e_{1} = (1, 0), e_{2} = (0, 1) と置く）と、

X(p) = f(p)e_{1}|_{p} + g(p)e_{2}|_{p}

とかける。ここで、 f, g が滑らかな関数であるとき、 X が滑らかであるという。注意１．単純に X(p) = f(p)e_{1} + g(p)e_{2} と書いてしまうと、どの点でのベクトルを考えているのか分からなくなってしまうので、こういう書き方は特別な理由がなければあまりしない。注意２． ℝ^{2} の基底として (1, 0), (0, 1) を採ることができるが、しばしばこれらを \frac{∂}{∂x}, \frac{∂}{∂y} と書く。こうすると偏微分と紛らわしいが、それはわざとそうしてある。

定義２． X を ℝ^{2} 上のベクトル場とする。 X(p) = 0 となる点 p を X の零点または特異点と言う。

定義３． X を ℝ^{2} 上のベクトル場とし、 p をその孤立した特異点とする。つまり、 p のある近傍 U_{p} が存在し、 U_{p} ∩ {q ∈ ℝ^{2}| X(q) = 0} = {p} であるとする。このとき、 X の p における指数 i(X, p) を次のように定義する。

(1) p を中心とする小さい円周 γ を U_{p} の中で書き、正の向き（反時計周り）に向きをつけ、 S^{1} と同一視する。

(2) 写像 ψ : S^{1} → S^{1} を

ψ(q) = \frac{X_{0}(q)}{∥X(q)∥}

で決める。ただし、 X(q) = f(q) \frac{∂}{∂x}|_{q} + g(q) \frac{∂}{∂y} |_{q} のとき、

∥X(q)∥ = \sqrt{f(q)^{2} + g(q)^{2}}

と定める。また、 X_{0} は

X_{0}(q) = f(q) \frac{∂}{∂x}|_{0} + g(q) \frac{∂}{∂y} |_{0}

と定める。

(3) i(X, p) を ψ によって与えられる曲線の回転数として定める。

Typeset by AMS-TEX

直観的に言えば、 γ に沿って見たときに、ベクトルが何回転しているかを符号付きで数えたものが指数である。

問題１．次のベクトル場を図示し、特異点と、各特異点における指数を求めよ。

1) X(x, y) = x \frac{∂}{∂x}|_{(x,y)} + y \frac{∂}{∂y} |_{(x,y)}.

2) X(x, y) = −x \frac{∂}{∂x}|_{(x,y)} − y \frac{∂}{∂y} |_{(x,y)}.

3) X(x, y) = −y \frac{∂}{∂x}|_{(x,y)} + x \frac{∂}{∂y} |_{(x,y)}.

4) X(x, y) = −x \frac{∂}{∂x}|_{(x,y)} + y \frac{∂}{∂y} |_{(x,y)}.

一般の曲面に対してもその上のベクトル場を次のように定義する。

定義４．曲面 Σ 上のベクトル場 X とは、 Σ の各点 p に対して接ベクトル X(p) を与える対応のことである。ここで、 p における接ベクトルとは、 p における Σ の接平面 T_{p}Σ のベクトルで、 p を始点とするものである。注意３．平面の接平面は自分自身と自然に同一視できるから、定義４は定義１の自然な拡張になっている。

定義５．（今は分からなくても良い）曲面 Σ 上のベクトル場 X が滑らかであるとは、局所的に Σ と ℝ^{2} （の開集合）を同一視したとき、 X が ℝ^{2} （の開集合）の滑らかなベクトル場であることをいう。

以下では滑らかなベクトル場のみを考える。

曲面 Σ に対して、オイラー数 χ(Σ) が定義されたが、ベクトル場の指数に関連して次が成り立つ。ここでは定義は省略し、次の事実を認める。定理１．

1) χ(S^{2}) = 2

2) χ(T^{2}) = 0 但し T^{2} はトーラス

定理２． Σ を閉曲面とし、 X を Σ 上の滑らかなベクトル場で、その特異点が有限個であるものとする。このとき

∑_{p:特異点}i(X, p) = χ(Σ)

が成り立つ。

問題２． Σ = S^{2}, T^{2} のときに定理２を確かめよ。