１９９７年度幾何学Ａ演習（第４回） ’97/5/7 15:00〜17:15

曲面はすべて ℝ^{3} の中にあり、滑らかであるとする。（正確に言えば、滑らかに埋め込まれているとする。）

事実１． f を x, y の滑らかな (C^{∞}級の) 関数とする。このとき、 f のグラフ

Σ(f) : {(x, y, z) ∈ ℝ^{3}| z = f(x, y)}

は ℝ^{3} の滑らかな曲面になる。

事実２． f を x, y, z の滑らかな関数とする。ここで、

Df = (\frac{∂f}{∂x} , \frac{∂f}{∂y} , \frac{∂f}{∂z} )

とするとき、 ∀x, y, z, Df(x, y, z) ≠ (0, 0, 0) とする。このとき、集合

Σ_{f}(c) = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3}| f(x, y, z) = c}

は空でなければ ℝ^{3} の滑らかな曲面になる。

定義１． Σ を ℝ^{3} の曲面とし、 Σ 上の点 p = (x_{0}, y_{0}, z_{0}) を考える。もし、 ℝ^{3} の中の平面 T で、 Σ と p のみで交わるものが唯一存在するとき、それを p における Σ の接平面と呼び、 T_{p}Σ と書く。

（実は本当に p のみで交わっていなくても、 Σ ∩ T において p が孤立していればよい。 ; 今はあまり気にしなくて良い。）

定義２． ℝ^{3} の曲面 Σ(f) : {(x, y, z) ∈ ℝ^{3}| z = f(x, y)} 上の点 p = (x_{0}, y_{0}, z_{0}) における接平面 T_{p}Σ(f) を

T_{p}Σ(f) : z − z_{0} = \frac{∂f}{∂x} (x_{0}, y_{0})(x − x_{0}) + \frac{∂f}{∂y} (x_{0}, y_{0})(y − y_{0})

と定める。

定義３． ℝ^{3} の曲面 Σ_{f}(c) : {(x, y, z) ∈ ℝ^{3}| f(x, y, z) = c} 上の点 p = (x_{0}, y_{0}, z_{0}) における接平面 T_{p}Σ_{f}(c) を

T_{p}Σ_{f}(c) : \frac{∂f}{∂x} (x_{0}, y_{0}, z_{0})(x−x_{0})+ \frac{∂f}{∂y} (x_{0}, y_{0}, z_{0})(y −y_{0})+ \frac{∂f}{∂z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})(z −z_{0}) = 0

と定める。ただし、 ∀x, y, z, Df(x, y, z) ≠ (0, 0, 0) とする。

Typeset by AMS-TEX

問題１．球面 S^{2} = {(x, y, z)| x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1} の点 p = (0, 0, −1), q = (1, 0, 0) における接平面を上の定義１〜３にしたがって具体的に求め、式で表せ。

問題２．次の曲面 Σ の与えられた点 p, q における接平面を具体的に求め、式で表せ（３通りにやる必要はない）。

1) Σ : {(x, y, z) ∈ ℝ^{3}| z = x^{2} − y^{2}}, p = (0, 0, 0), q = (1, −1, 0)

2) Σ : {(x, y, z) ∈ ℝ^{3}| x^{4} + y^{4} + z^{2} = 1}, p = (−1, 0, 0), q = (0, 0, 1)

3) Σ : \{(x, y, z) ∈ ℝ^{3}| z = x^{3}y^{3}\}, p = (1, 1, 1), q = (−2, \frac{1}{2}, −1)

接平面は次のようにも定義できる。定義４． Σ を ℝ^{3} の曲面とし、 Σ 上の点 p = (x_{0}, y_{0}, z_{0}) を考える。 Σ 上の曲線 l で、 p を通るものを考え、その p での接線を L_{l} とする。 l として、考えられるものを全て考え、その時現れる L_{l} 達の和集合 L̃_{p} を考える。もし L̃_{p} が平面になる場合、それを Σ の p における接平面といい、これもまた、 T_{p}Σ と書く。

注意．接平面の定義２〜４は一致する。定義１の方法で接平面が定義できるときは、それも定義２〜４と一致する。

時間に余裕のある者は次の問も考えてみよ。

問題３．曲面 Σ : {(x, y, z) ∈ ℝ^{3}| z = x^{2} − y^{2}} 上の任意の点 p = (x_{0}, y_{0}, z_{0}) での接平面 T_{p}Σ を求め、 Σ ∩ T_{p}Σ を調べよ。

問題４．球面 S^{2} = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3}| x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1} 上の点 p = (0, 0, 0) での接平面を定義４に従って求めよ。