１９９７年度幾何学Ａ演習（第３回） ’97/4/30 15:00〜17:15

問題１．次の各問に答えよ。

1)

(x, y) = (cosh t, sinh t), t ∈ ℝ

で表される曲線のグラフを書き、曲率を求めよ。

2) 極座標で

(r, θ) = (t, t), t > 0

と表される曲線のグラフを書き、曲率を求めよ。

3) 実数 a をパラメータ（径数）にもつ曲線の族

(x, y) = (t, at^{2}), t ∈ ℝ

のグラフを a > 0, a = 0, a < 0 の時に書き、曲率を t と a の関数として表せ。

曲線は全て滑らかとする。空間曲線に対しても、平面曲線と同様に曲率を定義したい。曲線を l とし、孤長 s を用いて l : p(s) = (x(s), y(s), z(s)) とパラメータ表示する。平面曲線のときと同様に e_{1}(s) = \frac{dp}{ds}(s) と定め、これと直交するベクトル

e_{2}(s) をとり、\frac{de_{1}}{ds} (s) = κ(s)e_{2}(s) としたい。しかし、平面曲線のときとは異なり、 e_{1}(s) に直交するベクトルを自然に与える方法はないので、このようなことは一般には不可能である。

そこで、逆に平面のときの式

*  \frac{de_{1}}{ds} (s) = κ(s)e_{2}(s)

が成り立つように e_{2}(s) を長さ 1 のベクトルとしてきめる。これだけだとまだ e_{2}(s) の向きは決まらないので、さらに κ(s) > 0 になるように e_{2}(s) の向きを決める。

このようなことは、\frac{de_{1}}{ds} (s) ≠ 0 の時のみ可能である。\frac{de_{1}}{ds} (s) = 0 の時は、 κ(s) = 0 と定め、 e_{2}(s) は定めない（定められない）。

以下では κ(s) ≠ 0 を仮定する。すると上で見たように、 e_{1}(s), e_{2}(s) が決まるので、 e_{3}(s) を (e_{1}(s), e_{2}(s), e_{3}(s)) が正規直交基底になるように決める。つまり e_{3}(s) = e_{1}(s) × e_{2}(s) ととる。ここで、更に計算すると、

\frac{de_{2}}{ds} (s) = −κ(s)e_{1}(s) + τ(s)e_{3}(s),
\frac{de_{3}}{ds} (s) = −τ(s)e_{2}(s)

となる滑らかな関数 τ(s) が存在することがわかる。この τ(s) を捩率といい、また、これらの式と * をあわせて Frenet-Serret の公式という。

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問２．次の問に答えよ。以下では a, b は定数とする。

1) ℝ^{3} の中の曲線 (x, y, z) = (a cos t, a sin t, bt), t ∈ ℝ, a > 0、の曲率と（定義できれば）捩率を求めよ。

2) ℝ^{3} の中の曲線 (x, y, z) = (0, a cos t, b sin t), t ∈ ℝ, a > 0, b > 0、の曲率と（定義できれば）捩率を求めよ。

3)

v_{1} = (− sin s, cos s, 1)
v_{2} = (− cos s, − sin s, 0)

として、 v_{3} = v_{1} × v_{2} を求め、 v_{3} = (a, b, c) と成分で書いて

A = ( \begin{matrix}− sin s & cos s & 1 \\ − cos s & − sin s & 0 \\ a & b & c \end{matrix} )

と置き (A は v_{1}, v_{2}, v_{3} を並べたものであることに注意せよ）、 A^{t}A、^{t}AA を求めよ。また、 |v_{1}| = \sqrt{v_{1} · v_{1}}, |v_{2}|, |v_{3}| を求めよ。