１９９７年度幾何学Ａ演習（第２回） ’97/4/23 15:00〜17:15

前回はさまざまな曲線の曲率と回転数を求めた。曲率を計算するときには曲線が孤長で径数付けられていると便利であったが、曲線が必ずしも孤長で径数づけられている訳ではない。しかし、そのような時でも曲率は計算できる。

問題１．次の式で表される曲線の曲率を求めよ。 1) (x, y) = (t, t^{2}), t ∈ ℝ

2) (x, y) = (t, t^{n}), t ∈ ℝ, n ≥ 2

3) (x, y) = (t, \frac{1}{t}) , t > 0

4) (x, y) = (t, f(t)), 但し f は C^{∞} 級の関数とする。

問題２．次の ℝ^{3} の部分集合 Σ と、 ℝ^{3} 内の平面 T_{θ} : (sin θ)x − (cos θ)y = 0 の共通部分 l_{θ} を考える（本問では必ず曲線になるとしてよい）。今 T_{θ} を ℝ^{2} とみることにすると、 l_{θ} は ℝ^{2} の曲線と考えられる。このとき、 l_{θ} の変化の様子を図示し、 l_{θ} の (0, 0) における曲率を求めて θ (0 ≤ θ ≤ 2π) の関数として表し、その最大値と最小値も求めよ。ただし、 l_{θ} の向きは次の条件をみたすように決める。

(1) T_{0} は x–z 平面だが、 l_{0} の向きは任意に決める（どちらに決めたか、明示すること）。

(2) θ が連続に変化すると、 l_{θ} は連続に変化するが、このとき、向きも込めて連続に変化するように、 l_{θ} にも向きを入れる。つまり、急に逆向きになったりはしないようにする。

1) Σ : {(x, y, z) ∈ ℝ^{3}| z = x^{2} + y^{2}}

2) Σ : {(x, y, z) ∈ ℝ^{3}| z = x^{2} − y^{2}}

3) Σ : {(x, y, z) ∈ ℝ^{3}| z = f(x, y)} 但し f は C^{∞} 級で、 f(0, 0) = 0, ( \frac{∂f}{∂x} (0, 0) \frac{∂f}{∂y} (0, 0) ) = ( 0 0 ) とする。

3) については、更に f のヘシアン Hess(f) = ( \begin{matrix}\frac{∂^{2}f}{∂x^{2}} & \frac{∂^{2}f}{∂x∂y} \\ \frac{∂^{2}f}{∂x∂y} & \frac{∂^{2}f}{∂y^{2}} \end{matrix} ) との関連も調べよ。

ヒント：対称行列は常に対角化可能である。

参考． f を x, y の滑らかな (C^{∞}級の) 関数とする。このとき、 f のグラフ

Σ_{f} : {(x, y, z) ∈ ℝ^{3}| z = f(x, y)}

は ℝ^{3} の滑らかな曲面になる。上の問題は、このような曲面を適当な平面で切って、その上で曲率を求めていることになる。詳しいことは来週以降。

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