１９９７年度幾何学Ａ演習（第１回） ’97/4/16 15:00〜17:35 ’97/4/20 改定

以下では関数 x, yは区分的に C^{∞}級（滑らか）と仮定する。

孤長 s により径数づけられた ℝ^{2} （x–y平面）内の曲線

l : p = (x(s), y(s))

の点 p_{0} = (x(s_{0}), y(s_{0})) における接ベクトル v_{0}は

v_{0} = (\frac{dx}{ds}(s_{0}), \frac{dy}{ds} (s_{0}))

で与えられる。これは lが C^{∞}級な（角がない）ところでは s_{0}に C^{∞}級に依存するので、これを s の関数とみて v(s) と書くことにする。ここで、 lは C^{∞}級で、更に ∀s v(s) ≠ (0, 0) と仮定すると、ある C^{∞}級関数κ(s) が存在し、

\frac{dv}{ds} (s) = (\frac{d^{2}x}{ds^{2}}(s), \frac{d^{2}y}{ds^{2}} (s))

= κ(s) (−\frac{dy}{ds} (s), \frac{dx}{ds}(s))

が成り立つ。

定義１． κ(s) を曲線 lの曲率と言う。

定義２． lは自己交差を持たない閉曲線と仮定し、 s_{1}を l(s_{1}) = l(0) となる最小の正数とする。このとき

m = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{s_{1}} κ(s)ds

で決まる数を閉曲線 lの回転数と言う。 m は lが滑らかなら（角がなければ）必ず整数値をとる。

問題１．向きがわかるように次の曲線のグラフを書いて、回転数を求めよ。 1) (x(s), y(s)) = (cos s, sin s), 0 ≤ s ≤ 2π

2) (x(s), y(s)) = (cos s, − sin s), 0 ≤ s ≤ 2π

3) (x(s), y(s)) = \{ \begin{matrix}(1 − sin s, 1 − cos s), & 0 ≤ s ≤ \frac{π}{2} \\ (−1 + sin s, 1 + cos s), & \frac{π}{2} ≤ s ≤ π \\ (−1 − sin s, −1 − cos s), & π ≤ s ≤ \frac{3π}{2} \\ (1 + sin s, −1 + cos s), & \frac{3π}{2} ≤ s ≤ 2π \end{matrix}

4) (x(s), y(s)) = \{ \begin{matrix}(cos s, sin s), & 0 ≤ s ≤ π \\ (s − π − 1, 0) , & π ≤ s ≤ π + 2 \end{matrix}

Typeset by AMS-TEX

注意． l には角があると、回転数が整数にならないことがあるが、角がなければ自己交差はあってもよい。この時回転数の定義は少し修正する必要があるが、それは練習問題。

問題２．向きがわかるように次の曲線のグラフを書いて、回転数を求めよ。 1) (x(s), y(s))

= \{ \begin{matrix}(\frac{−s + 1}{\sqrt{2}}, \frac{s − 1}{\sqrt{2}}) , & 0 ≤ s ≤ 2 \\ (cos(s − 2 + \frac{π}{4} ) − \sqrt{2}, sin(s − 2 + \frac{π}{4} )) , & 2 ≤ s ≤ 2 + \frac{3π}{2} \\ (\frac{1}{\sqrt{2}}(s − 3 − \frac{3π}{2} ), \frac{1}{\sqrt{2}}(s − 3 − \frac{3π}{2} )) , & 2 + \frac{3π}{2} ≤ s ≤ 4 + \frac{3π}{2} \\ (cos(−s + 4 + \frac{9π}{4} ) + \sqrt{2}, sin(−s + 4 + \frac{9π}{4} )) , & 4 + \frac{3π}{2} ≤ s ≤ 4 + 3π \end{matrix}

2) 図の図形（図はプリントを参照）

回転数を使うと、 l_{1} : (x(s), y(s)) = (cos s, sin s), 0 ≤ s ≤ 2π l_{2} : (x(s), y(s)) = (cos s, − sin s), 0 ≤ s ≤ 2π

を考えたとき、 l_{1}を連続的に、（自己交差を許して）滑らかな閉曲線のまま変形しても向きを込めて l_{2}に重ねることができないことがわかる。