１９９７年度代数学 II 演習（第 13 回） ’98/2/3 9:00〜10:30

1. p, q を整数とし、 d を p と q の最大公約数とする。この時、ある整数 r, s で、 rp + sq = d を満たすものが存在することを示せ。（ヒント： Eulid の互除法）

2. 1)^{∘} ℤ の元 p が (ℤ において) 生成する (両側) イデアル (p) を具体的に表せ。

2) ℤ の元 p, q が (ℤ において) 生成する (両側) イデアル (p, q) を具体的に表せ。必要なら問 1 を用いよ。

3) ℤ の元 p, q, r が (ℤ において) 生成する (両側) イデアル (p, q, r) を具体的に表せ。必要なら問 1 を用いよ。

定義．環 R が単項イデアル環であるとは、 Rの任意のイデアル I が、ある r ∈ R を用いて I = (r) と表されることを言う。

3. ℤ が単項イデアル環であることを示せ。必要なら問 2 を用いて良い。

4. 1) ℤ の二元 p, q がそれぞれ生成するイデアル (p), (q) について、 (p) ⊂ (q) な

る条件を求めよ。

2) 0 ≠ (p) ⊊ (q) ⊊ ℤ なる q が存在しないような p はどのような整数であるか。

5. 集合 ℤ[\sqrt{7}] を

ℤ[\sqrt{7}] = \{a + b\sqrt{7} | a, b ∈ ℤ\}

と定める。さらに ℤ[\sqrt{7}] の元 x, y について、 x + y, xy を x, y を ℝ の元とみなして定める。

1)^{⋆} この時 ℤ[\sqrt{7}] は可換環であることを示せ。また、体になるか調べよ。 (上で x + y, xy を定めた時にこれらが ℤ[\sqrt{7}] の元になっているかどうかは問うていないことに注意せよ。 )

2)^{∗} ℤ のイデアル (2) に対して、 (2) ⊊ (q) ⊊ ℤ なるイデアル (q) は存在しないことを示し、更に、 ℤ[\sqrt{7}] のイデアル (2) に対して、 (2) ⊊ (q) ⊊ ℤ[\sqrt{7}] なるイデアル (q) が存在することを例を挙げることによって示せ。

6. 1)^{∘} ℝ の任意の元 x が生成するイデアル (x) は (0) でなければ実は ℝ に等しい

ことを示せ。 2)^{⋆} 環 R が体であることと、 R の (0) 以外のイデアルがすべて R に等しいこと

は同値であることを示せ。

∘ ：多分やさしい

∗ ：多分難しい ⋆ ：よくみると前回までに出題された演習問題のどれかと内容は実は (ほとんど) 同じ

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