１９９７年度代数学 II 演習（第 13 回に出した練習問題） ’98/2/3 9:00〜10:30

Rを環とする。

1. 1) I_{1}, I_{2} を R の左 (右、両側) イデアルであるとすると、 I_{1} ∩ I_{2} は R の左 (右

、両側) イデアルであることを示せ。

2) {I_{λ}}_{λ∈Λ} を R の左 (右、両側) イデアルの族であるとすると、 ⋂_{λ∈Λ} I_{λ} は R の左 (右、両側) イデアルであることを示せ。

2. S を R の部分集合とする。 S が R において生成する左 (右、両側) イデアル I_{S} を

I_{S} = ⋂_{\begin{matrix}J は S を含む \\ 左 (右、両側) イデアル \end{matrix}}J

で定める。このとき次を示せ。 1) I_{S} ≠ ϕ

2) I_{S} は R の左 (右、両側) イデアルである。

3) S を含む左 (右、両側) イデアル I が次を満たすとする、即ち、 J が S を含む左 (右、両側) イデアルであるとすると、 J ⊂ I が成り立つ。このとき、 I = I_{S} である。

4) I_{S} = RS (I_{S} = SR, I_{S} = RSR) が成り立つ。

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