１９９７年度代数学 II 演習（第 11 回） ’98/1/20 9:00〜10:30

1. R を環とする。 0 を加法に関する単位元とする時、 R の任意の元 x について 0 · x = x · 0 = 0 を示せ。ここで · は R の乗法を表す。

2. R を整域とする。この時 R[x] は整域であることを示せ。

定義． R_{1}, R_{2} を環とし、 f を R_{1} から R_{2} への環準同型写像とする。 f が全単射の時、 f は (環の) 同型写像であるという。また、このような f が存在する時 R_{1} と R_{2} は (環として) 同型であるという。

3. f が環同型写像であるとき、 f の逆写像もまた環同型写像であることを示せ。

4. R_{1}, R_{2} を互いに同型な環とする。 R_{1} が体の時、 R_{2} は体であることを示せ。また、 R_{2} が体である時、 R_{1} は体であるかどうか調べよ。

5. R を環とする。 R-係数の 1 変数多項式環 R[x] の部分集合 (x) を (x) = {p ∈ R[x] | (p の定数項) = 0}

で定める。ここで、 R[x] の元 p の定数項とは、適当な n を用いて p = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + ⋯ + a_{n}x^{n} と表した時、 a_{0} のことである。

1) (x) は R[x] の両側イデアルであることを示せ。

2) R[x]/(x) は R と (環として) 同型であることを示せ。

6. R を環とする。 R[x] の部分集合 (1 + x^{2}) を

(1 + x^{2}) = {p ∈ R[x] | ある R[x] の元 qが存在し、 p = q · (1 + x^{2}) とかける } と定める。

1) (1 + x^{2}) は R[x] の両側イデアルであることを示せ。

2) R[x]/(1 + x^{2}) (を自然に環とみなしたもの) において、 x は積に関して逆元を持つことを示せ。

3) R = ℝ である時に、 R[x]/(1 + x^{2}) = ℝ[x]/(1 + x^{2}) は ℂ と同型であることを示せ。 (ヒント：x^{2} = −1 だから、 ℂ において x と対応する元 i は存在すれば i^{2} = −1 を満たさなければいけない。 )

4) R = ℂ の時に、 R[x]/(1 + x^{2}) = ℂ[x]/(1 + x^{2}) は可換環であるが体ではないことを示せ。

注． 5. 及び 6. で (x) や (1 + x^{2}) という両側イデアルを定めたが、一般に環 R とその元 x に対して (x) と表される Rの両側イデアルが定義される (今日は定義しない)。

7. 集合 ℤ[\sqrt{−1}] を

ℤ[\sqrt{−1}] = \{a + b\sqrt{−1} | a, b ∈ ℤ\}

と定める。さらに ℤ[\sqrt{−1}] の元 x, y について、 x + y, xy を x, y を ℂ の元とみなして定める。

1) この時 ℤ[\sqrt{−1}] は可換環であることを示せ。また、体になるか調べよ。

2) ℤ[\sqrt{−1}] は ℤ[x]/(1 + x^{2}) と同型であることを示せ。ここで、 (1 + x^{2}) は 6. と同様に定める。

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