１９９７年度代数学 II 演習（第９回） ’97/12/16 9:00〜10:30

1. 正三角形を自分自身に写す（表裏をひっくり返しても良い）写像全体の成す群を D_{6} で表す。

1) D_{6} の位数は 6 であることを示せ。

2) D_{6} から 𝔖_{3} への自然な準同型を作れ。

3) 上の準同型は同型写像であるかどうか調べよ。

2. D_{6} の元で、三角形の表裏を保つ写像全体の成す集合を H で表す。 1) H は ℤ/3ℤ と同型な D_{6} の正規部分群であることを示せ。

2) D_{6}/H は ℤ/2ℤ と同型であることを示し、その生成元を具体的に表せ。

3. 問 2 の 2) で求めた、 D_{6}/H の生成元を表す D_{6} の元を τ とし、 D_{6} から D_{6} への写像 f_{τ} を f_{τ} (g) = τgτ^{−1} (g ∈ D_{6}) で定める。この写像 f_{τ} は同型写像であることを示し、さらに、 H への制限 f_{τ} |_{H} は Aut(H) の非自明な元であることを具体的に示せ。（ヒント： Aut(H) ≅ ℤ/2ℤ の元は 1 ∈ ℤ/3ℤ を何に写すかにより定まる。）

4. 1) G の交換子群 [G, G] は G の正規部分群であることを示せ。 2) G^{ab} = G/[G, G] はアーベル群であることを示せ。

3) G = 𝔖_{3} の時に、 G^{ab} を求めよ。

以下では位数 6 の有限群を分類する。

5. G を位数 6 の有限群とする。 1) g を G の任意の元とする時、 g の位数は 1,2,3 若しくは 6 であることを示せ。

以下 g を G の元で位数が最大のものとする。 2) g の位数が 6 のとき、 G ≅ ℤ/6ℤ である事を示せ。

3) g の位数は 6 でなければ 3 であることを示せ。

6. (5. の続き) 位数 6 の有限群 G の位数が最大の元 g の位数が 3 であるとする。このとき、 H は G の正規部分群であり、 G に位数 2 の元が存在することを示せ。方針が分からなければ以下に従って示せ。

1) G には位数 2 の元が存在することを次に従って示せ。

i) G の中で g が生成する群を H とおく（H = ⟨g⟩）とき、剰余類の集合 G/H の位数は 2 であることを示せ。

ii) G/H の代表系として、 {e, α} を取る。ここで e は単位元で、 α ≠ e である。この α が α^{2} = e を満たすことを示せ。ヒント： α^{2}H = H であることをまず示せ。次に α^{2} ≠ e なら α^{3} = e であることを（示して）用いるか、若しくは、 α の位数が 6 ではありえないことを（示して）使う。

2) αgα^{−1} を調べることにより、 H は正規部分群であることを示せ。

7. (6. の続き)

1) αgα^{−1} = g の時、 G ≅ ℤ/2ℤ ⊕ ℤ/3ℤ ≅ ℤ/6ℤ であることを示せ。

2) αgα^{−1} = g^{2} の時、 G ≅ D_{6} ≅ 𝔖_{3} であることを示せ。これで位数 6 の有限群の分類が完成した。

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