１９９７年度代数学 II 演習（第７回） ’97/12/2 9:00〜10:30

1. 次に従って位数 4 の有限群を分類せよ。

1) G を有限群とする。 g を G の任意の元とする時、 g の位数は G の位数を割

り切る事を示せ。従って特に、位数 4 の有限群の任意の元の位数は 1,2 若しくは 4 である。さて、ここで G を位数 4 の有限群とし、 gを G の元で位数が最大のものとする。

2) g の位数が 4 のとき、 G ≅ ℤ/4ℤ である事を示せ。

3) 以下、 g の位数は 4 ではないとする。このとき、

i) g の位数は 2 である事を示せ。従って G = {e, g_{1}, g_{2}, g_{3}} と書けば（ここで e は単位元） g_{1}^{2} = g_{2}^{2} = g_{3}^{2} = e であるが、このとき

ii) G はアーベル群である事を示せ。

すると、以前にも出題したように、例えば H = {e, g_{1}} は G の正規部分群となるから、 G/H には G から自然に群の構造が入る。

4) G/H の代表系として {e, g_{2}} が取れる事を示し、 G/H ≅ ℤ/2ℤ を示せ。 e, g_{2} によって表される G/H の元をそれぞれ [e], [g_{2}] と書く事にする。このとき、

5) [g_{2}]^{2} = [e] であることを示し、さらに、 [e] = {e, g_{1}}, [g_{2}] = {g_{2}, g_{2}g_{1}} であ

る事に注意して g_{1}g_{2} = g_{3} を示せ。
6) G ≅ ℤ/2ℤ ⊕ ℤ/2ℤ を示せ。

従って、位数 4 の有限群は ℤ/4ℤ 若しくは ℤ/2ℤ ⊕ ℤ/2ℤ である事が示された。

2. H = ℤ/2ℤ から G = ℤ/4ℤ への単射準同型 f で、 G/f(H) が再び ℤ/2Z と同型になるものを構成せよ。 G = ℤ/2ℤ ⊕ ℤ/2ℤ としたときにも同様の写像が構成できるか調べ、構成できるのであれば具体的に構成し、出来ないのであれば出来ない事を証明せよ。

3. 1) 𝔖_{n} の元 σ で、 1 を固定するもの（つまり、 σ(1) = 1）全体の成す集合 H_{1}

は 𝔖_{n} の部分群である事を示し、更に、 H_{1} ≅ 𝔖_{n−1} を示せ。

2) H_{k} = {σ ∈ 𝔖_{n}| σ(i) = i if i ≤ k} とする。ここで k ≤ n とする。 H_{k} ≅ 𝔖_{n−k} を示し、 𝔖_{n}/H_{k} を求めよ。

4. 1) Aut(ℤ/3ℤ) を求めよ。 2) Aut(ℤ/4ℤ) を求めよ。

5. 1) ℤ/pℤ が群である事を商群の定義に戻り、特に積の well-definedness に気をつけて確かめよ（つまり、 ℤ から ℤ/pℤ に自然に積がはいり、その積に関して ℤ/pℤ が群である事を示せ）。

2) 1) と同様に 𝔖_{n}/𝔄_{n}が群である事を確かめ、更に群として 𝔖_{n}/𝔄_{n} ≅ {1, −1} を示せ。

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