１９９７年度代数学 II 演習（第１回） ’97/10/14 9:00〜10:30

1. ２元からなる集合 {a, b} (a ≠ b) に群の構造を一つ入れよ。また、群の構造は何種類入るか。

2. M(2, ℝ) で、成分が実数の２次正方行列全体のなす集合を表す。 M(2, ℝ) は行列の加法を積として群になる事をしめせ。さらに M(2, ℝ) はアーベル群（可換群）であるか。

3. GL(2, ℝ) = {A ∈ M(2, ℝ) | det A ≠ 0} とおく。このとき GL(2, ℝ) は行列の積に関して群であることを示せ。また、 GL(2, ℝ) はアーベル群であるか。

4. M(2, ℝ), GL(2, ℝ) を 2, 3 のようにして群とみなす。このとき、 GL(2, ℝ) は M(2, ℝ) の部分集合であるが、さらに部分群であるかどうか調べよ。

5. O(2, ℝ) = {A ∈ M(2, ℝ) | A^{t}A = I_{2}} と置く。ここで I_{2} は２次の単位行列。 O(2, ℝ) は GL(2, ℝ) の部分群であることを示せ。

6. アーベル群の部分群はまたアーベル群である事を示せ。

7. 非可換群（アーベル群でない群）の部分群として、アーベル群が現れる例を挙げよ。ヒント： GL(2, ℝ) とその部分集合 {tI_{2} | t ∈ ℝ^{×}} を考えよ。

8. n 次の対称群 𝔖_{n} の位数が n! であることを示せ。

9. 次の置換の積を求めよ。

1) ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 4 & 1 \end{matrix} )
2) ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 3 & 2 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \end{matrix} )

10. 次の置換の逆元を求めよ。

1) ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{matrix} )
2) ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 3 & 1 \end{matrix} )

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