２００４年度数学 II 演習 ’05/1/12 （水）２時限 (10:40〜12:10)

問１. 次に示す行列が (ℂ 上) 対角化可能であれば対角化し, そうでなければ対角化不可能であることを示せ.

1) ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} )  2) ( \begin{matrix}2 & 2 \\ 0 & 2 \end{matrix} )  3) ( \begin{matrix}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix} )

4) ( \begin{matrix}9 & 4 & 8 \\ −12 & −5 & −12 \\ −4 & −2 & −3 \end{matrix} ) 5) ( \begin{matrix}0 & \sqrt{−1} \\ −\sqrt{−1} & 0 \end{matrix} )

問２. V を高々2 次の ℝ 係数の x の多項式のなすベクトル空間とする. 即ち,

V = {a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2}; a_{0}, a_{1}, a_{2} ∈ ℝ}

とし, f, g ∈ V に対して f + g を多項式としての和, f ∈ V, λ ∈ ℝ に対して λf を実数と多項式の積として定める. このとき以下の問に答えよ.

1) {1, x, x^{2}} は V の ℝ 上の基底であることを示せ.

2) ℓ_{0}, ℓ_{1}, ℓ_{2} を実数とし, 写像 L : V → V を L(f) = ℓ_{0}f + ℓ_{1} \frac{df}{dx} + ℓ_{2} \frac{d^{2}f}{dx^{2}} により

定める. このとき, L を基底 {1, x, x^{2}} に関して行列で表示せよ. ヒント：答えは ℓ_{0}, ℓ_{1}, ℓ_{2} を用いて表される 3 × 3 行列である.

3) L(f) = \frac{df}{dx} であるとき, L の固有値をすべて求め, それぞれの固有値に属する固有空間を求めよ. 注意：必要であれば λ ∈ ℝ の時, \frac{df}{dx}(x) = λf(x) の解は f(x) = ce^{λx}, c ∈ ℝ で与えられることを用いてもよいが, 用いれば解答が易しくなるわけでは必ずしもない.

4) f, g ∈ V に対して, ⟨f, g⟩ = ∫_{0}^{1} f(x)g(x)dx と置くと, これは V の内積を定めることを示せ. ただし, 必要であれば次の事実を用いてよい：事実： g を x の多項式で, g(x) ≥ 0 を任意の 0 ≤ x ≤ 1 について満たすものとする. このとき ∫_{0}^{1} g(x)dx = 0 であれば、 g は多項式として 0 である.

以下の問 5)〜10) に解答する際には, 4) が解けていなくても ⟨ · , · ⟩ が内積であることを用いてよい.

5) W = {f ∈ V f は高々1 次の多項式} と定めると, W は V の ℝ-部分線型空間であることを示せ.

6) W の基底であって, 4) で定めた内積に関して正規直交系をなすものをひとつ（一組）挙げよ.

7) 4) で定めた内積に関する W の直交補空間 W^{⊥} を求めよ.

ヒント： W^{⊥} は V の実 1 次元部分空間である.

ここで, 実数 α に対して φ_{α} : V → V を φ_{α}(f) = αf で定める. ただし f ∈ V とする.

8) φ_{α} が 4) で定めた内積に関して直交変換であるための α の必要十分条件を求めよ.

9) φ_{α} は 4) で定めた内積に関して対称変換であることを示せ.

10) φ_{α} の固有値は α のみであることを示し, その重複度（本によっては代数的重複度と呼んでいる場合もある）を求めよ.