２００４年度数学 II 演習 ’04/12/15 （水）２時限 (10:40〜12:10)

問１. 以下の行列 A について, A^{m}, m ∈ ℤ を求めよ. ただし, A が n 次であれば A^{0} = I_{n} とし, また, A^{m}, m < 0 は行列が正則なときのみ A^{m} = (A^{−1})^{−m} として定める.

1) ( \begin{matrix}8 & 2 & 10 \\ −10 & −2 & −14 \\ −3 & −1 & −3 \end{matrix} )  2) ( \begin{matrix}−1 & 2 & 2 \\ 3 & 0 & −2 \\ −6 & 4 & 6 \end{matrix} )  3) ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} )

問２. (V, ⟨ · , · ⟩) を n 次元計量実線型空間, E = {e_{1}, e_{2}, …, e_{n}} を V の基底, X を E に関する内積 ⟨ · , · ⟩ の行列表示とする. つまり, X = (⟨e_{i}, e_{j}⟩)_{i,j} と定める. F = {f_{1}, f_{2}, …, f_{n}} を V の別の基底, A を E から F への基底の変換行列とするとき, 基底 F に関する内積 ⟨ · , · ⟩ の行列表示を A と X を用いて表せ.

問３. 1 変数多項式

f(t) = a_{n}t^{n} + a_{n−1}t^{n−1} + ⋯ a_{1}t + a_{0}

と m 次正方行列 X に対し,

f(X) = a_{n}X^{n} + a_{n−1}X^{n−1} + ⋯ a_{1}X + a_{0}I_{m}

と定める.

1) 任意の奇数次の多項式 f(t) と任意の実対称行列 A に対し, f(B) = A となるような実対称行列 B が存在することを示せ.

2) f(t) = t^{2} + 2pt + q (p, q ∈ ℝ) とし, 実対称行列 A を

A = ( \begin{matrix}3 & −2 & 0 \\ −2 & 2 & −2 \\ 0 & −2 & 1 \end{matrix} )

と定めるとき, f(B) = A となるような実対称行列 B が存在するための p, q に関する必要十分条件を求めよ.

問４.

1) A を n 次正則行列とする. このとき, 適当な 1 変数多項式 f が存在して A^{−1} = f(A) と表せることを示せ. ただし, f(A) は問３のように定める.

2) A を n 次の, 正則でない行列とする. このとき, 適当な 0 でない 1 変数多項式 f が存在して f(A) = O_{n} （零行列）となることを示せ.

問５. 次の文章は誤り「A が 2 次正方行列であって, A^{2} − 3A + 2I_{2} = O_{2} であれば, A = I_{2} または A = 2I_{2}」を証明しようとしているものである. 誤りを指摘し, 反例を挙げよ.

証明. f(t) = t^{2} − 3t + 2 とすると, A^{2} − 3A + 2I_{2} = O_{2} であるから f(A) = O_{2} である. 一方, f(t) = (t − 1)(t − 2) であるから, f(A) = (A − I_{2})(A − 2I_{2}) = O_{2} である. したがって A = I_{2} または A = 2I_{2} である. □

問６. 9 つの正方行列

A_{(i)} = ( \begin{matrix}a_{1}^{(i)} & a_{2}^{(i)} & a_{3}^{(i)} \\ a_{4}^{(i)} & a_{5}^{(i)} & a_{6}^{(i)} \\ a_{7}^{(i)} & a_{8}^{(i)} & a_{9}^{(i)} \end{matrix} ) (i = 1, 2, …, 9),

ただし a_{j}^{(i)} = \{ \begin{matrix}1 & (j ≤ i) \\ 0 & (j > i) \end{matrix} , について対角化可能であるか否かを判定せよ.

問７. 2 行 2 列の実行列全体の作る ℝ 上の線型空間を M_{2}(ℝ) とする. 相異なる正の数 α, β, γ に対して P = ( \begin{matrix}α & β \\ 0 & γ \end{matrix} ) とおき, この P を用いて線型写像 L : M_{2}(ℝ) → M_{2}(ℝ) を

L(A) = P AP

で定義する.

1) L の固有値を求めよ.

2) L は対角化可能であることを示せ.