２００４年度数学 II 演習 ’04/10/20 （水）２時限 (10:40〜12:10)

問１. V を K-線形空間とする．

1) E, E′ を V の 2 つの基底とし， E から E′ への基底の変換行列を A とする．このとき，恒等写像 id_{V} : V → V の E, E′ に関する行列表示を A を用いて表せ．ヒント：答はやや直感に反するので違和感を持つかもしれない．

2) f : V → V を K-線型変換とし, V の基底 E をひとつ固定する． f の E に関する行列表示を A とするとき， A が正則行列であることと， f が K-線型同型写像であることは同値であることを示せ．

3) f : V → V を K-線型変換とする. このとき次の３条件が同値であることを

示せ． i) V の任意の基底 E に関して f の E に関する行列表示が正則行列となる． ii) V のある基底 E に関して f の E に関する行列表示が正則行列となる. iii) f は K-線型同型写像である.

問２. 2 次の複素正方行列 A を

A = ( \begin{matrix}a_{1} + b_{1}\sqrt{−1} & a_{2} + b_{2}\sqrt{−1} \\ a_{3} + b_{3}\sqrt{−1} & a_{4} + b_{4}\sqrt{−1} \end{matrix} ) , ただし，a_{i}, b_{i} ∈ ℝ,

により定め, ℂ-線形写像 T_{A} : ℂ^{2} → ℂ^{2} を T_{A}(x) = Ax (x ∈ ℂ^{2}) で定める．いま ℂ^{2}

を ℝ-上の基底 E = \{( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}√ & \overline{−1} \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ −\sqrt{−1} \end{matrix} )\} によって ℝ-線形空間と

みなすとき， ℝ-線形写像 T_{A} の基底 E に関する行列表示を求めよ．

問３. ℝ を通常の ℝ-線形空間とし， ℝ^{×} = {t ∈ ℝ t > 0} を

和  : t, s ∈ ℝ^{×} に対し， t ⊕ s = ts  （実数の積），
スカラー倍: λ ∈ ℝ, t ∈ ℝ^{×} に対し， λ ⊗ t = t^{λ}（実数の冪乗）

で定めた ℝ-線形空間とする．また， ℝ-線形写像 f : ℝ → ℝ^{×} を f(x) = e^{x} で定める． ℝ の基底として E = {2}, ℝ^{×} の基底として F = {2} をとるとき， f の基底 E, F に関する行列表示を求めよ．ヒント：「行列」とは言うものの，サイズは 1 × 1 である.

問４. V, W を K-線型空間とする. このとき V と W の直和 V ⊕ W の部分集合 {(v, 0) v ∈ V } を V と, {(0, w) w ∈ W } を W とそれぞれ同一視する.

1) 上のように V ⊂ V ⊕ W, W ⊂ V ⊕ W とみなすと, V, W はそれぞれ V ⊕ W の K-線型部分空間となることを示せ．

2) 上のように V ⊂ V ⊕ W, W ⊂ V ⊕ W とみなすと, V ∩ W = {0}, V + W = V ⊕ W であることを示せ．

注意.

1) 通常は，特に断らなくても問４の方法で V, W は V ⊕W の部分空間とみなす.

2) 問４の 2) から, V と W の, V ⊕ W （抽象的な直和）の部分空間としての直和は再び V ⊕ W になることが分かる．

問５. V を n-次元の K-線型空間とするとき, K-線型空間 V^{∗} を

V^{∗} = Hom_{K}(V, K) = {f : V → K f は K-線型写像}

と定める. ここで, 1) f_{1}, f_{2} ∈ V^{∗} に対して, f_{1} + f_{2} ∈ V^{∗} を (f_{1} + f_{2})(v) = f_{1}(v) + f_{2}(v), v ∈ V,

2) λ ∈ K, f ∈ V^{∗} に対して λf を (λf)(v) = λf(v), v ∈ V

として和・積をそれぞれ定める. 但し, それぞれの等式の右辺は K の元（要するに数）としての和や積である.

1) V^{∗} は上の演算で K-線型空間であることを示せ（一回目の問 11 と問 12 の特別な場合） . ここで, E = {e_{1}, ⋯, e_{n}} を V の K-上の基底とする.

2) V から K への K-線型写像（すなわち， Hom_{K}(V, K) の元） e_{i}^{∗} であって，条件

e_{i}^{∗}(e_{j}) = \{ \begin{matrix}1 & i = j \\ 0 & i ≠ j \end{matrix}

を満たすものが唯一存在することを示せ．

3) E^{∗} = {e_{1}^{∗}, ⋯, e_{n}^{∗}} は V^{∗} の K-上の基底をなすことを示せ．したがって V^{∗} は n-次元である.

4) f : V → V を K-線型変換とする． V^{∗} 上で定まった写像 f^{∗} を f^{∗}(g) = g ∘ f, g ∈ V^{∗} と定めると， f^{∗} は V^{∗} から V^{∗} への K-線型写像であることを示せ.

5) f の E に関する行列表示を A とするとき， f^{∗} の E^{∗} = {e_{1}^{∗}, ⋯, e_{n}^{∗}} に関する行列表示を求めよ.