２００４年度数学 II 演習 ’04/10/6 （水）２時限 (10:40〜12:10)

記号. n 次正方行列 X に対し，

T_{X}(a) = Xa, (a ∈ ℝ^{n})

で定まる ℝ^{n} から ℝ^{n} への線型写像を T_{X} で表すことにする．

問１. ２つの n 次正方行列 A, B が A + B = I_{n}, rank A + rank B = n を満たすとき以下を示せ．

1) Ker T_{A} = Im T_{B}.

2) AB = BA = O, A^{2} = A, B^{2} = B.

問２. n 次実正方行列 A が A^{2} = I_{n} を満たすとする．このとき

V_{1} = Im T_{A+I_{n}},
V_{2} = Im T_{A−I_{n}}

と定め， s = dim V_{1}, t = dim V_{2} とおく．

1) s + t = n であることを示せ．ヒント： V_{1} ∩ V_{2} と V_{1} + V_{2} がそれぞれどのような空間になるか考えてみよ．

2) {e_{1}, …, e_{s}} を V_{1} の基底， {f_{1}, …, f_{t}} を V_{2} の基底とする．このとき {e_{1}, …, e_{s}, f_{1}, …, f_{t}} は ℝ^{n} の基底となることを示せ．

3) T = (e_{1}, …, e_{s}, f_{1}, …, f_{t}) とすると T は正則行列であって，

T^{−1}AT = ( \begin{matrix}I_{s} & O \\ O & −I_{t} \end{matrix} )

が成り立つことを示せ．

問３. 線型空間 V から V 自身への線型写像 P_{1}, …, P_{k} が， 1) P_{j}^{2} = P_{j}, j = 1, …, k

2) P_{j}P_{k} = 0, j ≠ k
3) P_{1} + ⋯ + P_{k} = id_{V}

を満たすとき， W_{j} = Im P_{j} とすると， V = W_{1} ⊕ ⋯ ⊕ W_{k} となることを示せ．ただし， 3) の左辺は f(v) = P_{1}(v) + ⋯ + P_{k}(v) で定まる線型写像を表す．問４. 以下のように線型空間 V, W と， V から W への線型写像 f を与える．このとき適当に V, W の基底を選んで f を行列表示せよ．また， f が線型同型写像であるかどうか判定し，同型写像である場合には逆写像を求めよ．

1) A = (a_{ij})_{i,j} ∈ GL(n; K) を一つ固定する． V = W = M_{n}(K) とし， f(X) =

AXA^{−1} で定まる f．

2) A = (a_{ij})_{i,j} ∈ M(n; K) を一つ固定する． V = W = M_{n}(K) とし， f(X) =

AX − XA で定まる f.
3) V = { 高々2 次の K-係数の t についての多項式 }, W = K, f(φ) = φ(0)，但
し φ ∈ V.
4) V = { 高々2 次の K-係数の t についての多項式 }, W = K^{3},

f(φ) = ( \begin{matrix}φ(0) \\ φ′(0) \\ \frac{1}{2}φ′′(0) \end{matrix} ) ,

ただし φ ∈ V.

問５. f : V → V を線型変換， E, E′ を V の基底とする．ここで， A を f の E に関する行列表示， A′ を f の E′ に関する行列表示とするとき， det A′ = det A, trA′ = trA が成り立つことを示せ.

注意. 従って, ‘f の行列式 det f’, ‘f のトレース trf’ という概念が意味を持つ．

問６. V_{1}, V_{2}, V_{3} を K-線型空間, E_{1}, E_{2}, E_{3} をそれぞれ V_{1}, V_{2}, V_{3} の K 上の基底とする． f : V_{1} → V_{2}, g : V_{2} → V_{3} をそれぞれ K-線型写像， A_{f}, A_{g} をそれぞれ f の E_{1}, E_{2} に関する行列表示， g の E_{2}, E_{3} に関する行列表示とするとき, g ∘ f の E_{1}, E_{3} に関する行列表示は A_{g}A_{f} であることを示せ.